[Favel]

Hola, ¿me ayudan con este lÍmite?

\( \displaystyle\lim _{n\to \infty }\left(\sqrt[n]{\frac{n!}{\left(n+1\right)^n}}\right) \)

Segun wolfram el resultado es 1/e, pero no se me ocurre la forma de pasar de acÁ \( \displaystyle\lim _{x\to \infty }\left(\frac{\sqrt[n]{n!}}{n+1}\right) \)

El limite lo saqué de esta serie \( \displaystyle\sum _{n=1}^{\infty }\:\left(\frac{n!}{\left(n+1\right)^n}\right) \) que tengo que resolver usando el criterio de la raíz.

Saludos.

[delmar]

Hola

El criterio de la raíz esta bien aplicado. Y lo podemos poner de la siguiente forma :

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(n!)^{1/n}}{n+1}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(n!)^{1/n}}{n} \ \ \displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{n}}} \)

\( \exists{\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{(n!)^{1/n}}{n}}}=\displaystyle\frac{1}{e} \), se puede demostrar

Y en consecuencia el límite buscado es \( \displaystyle\frac{1}{e} \)


Saludos