[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con esta demostración

Pruebe que si \( f(x)>0 \) \( \forall{x \in{[a,b]}} \) y \( f \) es integrable sobre \( [a,b] \) entonces

\(  \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\, dx \geq{0} \)

De antemano gracias.

[delmar]

Hola

Suponiendo que la  función es acotada, se considera la definición de integral.

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx=sup S=inf T \)

\( S=\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}s, \ \ s \ \ es \ \ una  \ \ funcion \ \ escalonada \ \ inferior \ \ de \ \ f}\right\} \)

\( T=\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}t, \ \ t \ \ es \ \ una  \ \ funcion \ \ escalonada \ \ superior \ \ de \ \ f}\right\} \)

Por ser el integral el extremo superior del conjunto S, y por ser la función nula, una función escalonada inferior a f, se tiene : \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx\geq{\displaystyle\int_{a}^{b}0 \ dx}\Rightarrow{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx\geq{0}} \)


Saludos

[cristianoceli]

Hola

Suponiendo que la  función es acotada, se considera la definición de integral.

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx=sup S=inf T \)

\( S=\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}s, \ \ s \ \ es \ \ una  \ \ funcion \ \ escalonada \ \ inferior \ \ de \ \ f}\right\} \)

\( T=\left\{{\displaystyle\int_{a}^{b}t, \ \ t \ \ es \ \ una  \ \ funcion \ \ escalonada \ \ superior \ \ de \ \ f}\right\} \)

Por ser el integral el extremo superior del conjunto S, y por ser la función nula, una función escalonada inferior a f, se tiene : \( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx\geq{\displaystyle\int_{a}^{b}0 \ dx}\Rightarrow{\displaystyle\int_{a}^{b}f(x) \ dx\geq{0}} \)


Saludos

Muchas gracias, no es nada difícil

Saludos