[cristianoceli]

Hola tengo dificultades con este ejercicio

Sea g función definida por \( g(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}} \) . Determine donde esta definida, es decir, el dom \( g \). Además demuestre que es continua en dom \( (g) \)

He intentado aplicar el test del radio para ver el intervalo de convergencia y no he llegado nada, finalmente he pensado que \( dom(g) = \mathbb{R} \) ya que \( \forall{n} \in{\mathbb{N}} \) se tiene que \( 1+g^{2m}\neq{0} \)
 Pero después no se como continuar.

Saludos

[MoisesOlaf]

El dominio no pueden ser todos los reales, al menos \( 1\not\in{don(g)} \) ya que \( g(1) \) es una suma infinita de puros valores \( \displaystyle\frac{1}{2} \) la cual, no converge.
De igual manera si tomas un valor mayor a uno cada sumando va siendo mayor al anterior. Por ejemplo, con \( x=2 \):

\( \displaystyle\frac{2^{0}}{1+2^{0}}=\displaystyle\frac{1}{2}<\displaystyle\frac{2^{2}}{1+2^{2}}=\displaystyle\frac{4}{5} \)

Entonces si \( x>1 \) tendría que pasar que \( g(x)>g(1) \) y no es posible.

Por otro lado en cero si converge, creo que la función está definida en el intervalo \( (-1,1) \) pero no estoy seguro. Porque a diferencia de los mayores a uno, en los menores a uno sus valores en la suma van disminuyendo.

[delmar]

Hola

Considera esta serie : \( S_n=\displaystyle\sum_{k=0}^n{(x^2)^k} \), esta es una serie geométrica que converge si y solo si \( \left |{x^2}\right |<1\Leftrightarrow{\left |{x}\right |}<1 \)

Utilizando el criterio de comparación por  paso al límite, comparamos la serie que nos dan con \( S_n \) :\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}{(x^2)^n}}=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{1+x^{2n}}} \)

Cuando \( \left |{x}\right |<1, \ \ \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{1+x^{2n}}}=1  \) y por el teorema la serie que nos dan converge

Y se puede demostrar que si el \( \left |{x}\right |\geq{1} \) la serie diverge, cuando \( \left |{x}\right |=1 \) es obvio. Para \( \left |{x}\right |>1 \) se averigua si cumple la condición necesaria \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}}=1\neq{0} \) en consecuencia diverge.

Por lo tanto la serie converge si \( \left |{x}\right |<1 \) y el dominio de g es \( \left |{x}\right |<1 \)

Saludos

[cristianoceli]

Muchas gracias delmar y Moisesolaf . Me quedo claro.

Saludos

[sugata]

Ahora que ya está respondida la pregunta, preguntó yo algo que se me había ocurrido.
¿Podemos multiplicar y dividir por el conjugado del denominador?
Nos quedaría

\( \displaystyle\frac{1}{1-(x^{2n})^2} \)

¿Y a partir de aquí mirar la convergencia?

Hace tiempo que no veo series y no se si se podría hacer esta transformación.

[Luis Fuentes]

Hola

Ahora que ya está respondida la pregunta, preguntó yo algo que se me había ocurrido.
¿Podemos multiplicar y dividir por el conjugado del denominador?
Nos quedaría

\( \displaystyle\frac{1}{1-(x^{2n})^2} \)

¿Y a partir de aquí mirar la convergencia?

Hace tiempo que no veo series y no se si se podría hacer esta transformación.

Pero no estoy seguro de entenderte. Si en:

\( \dfrac{x^{2n}}{1+x^{2n}} \)

multiplicas numerador y denominador por \( 1-x^{2n} \), el numerador no queda \( 1 \).

Saludos.

[sugata]

Perdona, sumé en vez de multiplicar, tienes razón.