[raistlin]

Tengo 2 rectas en la carta (2,2+t) y (2+t,2) que vienen de \( (x\circ{c}) \) para que me aparezca t en la carta, no?



Entonces esas son las curvas coordenadas que dentro de la variedad, aprovechando la función f que me convierte a números reales \( \frac{d}{dt}(f\circ{c}) \) las puedo derivar para que me aparezcan los vectores coordenados, pero solo porque \( (f\circ{c}) \) es igual a la versión en Local de la carta

\( \frac{d}{dt}f(u(t),v(t))=\frac{d}{dt}f(2+t,2)=\frac{df}{du}\frac{du}{dt}+\frac{df}{dv}\frac{dv}{dt}=\frac{d}{du}f \)

y eliminando f a ambos lados, sale que dentro de la variedad los vectores coordenados serán \( \frac{d}{du} \) y \( \frac{d}{dv} \) es correcto?



alguien me puede dar una explicación similar para los covectores coordenados, con todo lujo de detalles?

Gracias y saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 No me queda muy claro lo primero que expones.

 Si tienes una carta local en un punto \( p_0 \) en una variedad de dimensión dos:

\( \phi:M\longrightarrow{}\mathbb{R}^2 \), \( \phi(p)=(u(p),v(p)) \)

 Los vectores coordenados son las derivaciones:

\(  \dfrac{\partial }{\partial u}:C^{\infty}(p_0)\longrightarrow{}\mathbb{R} \)
\(  \dfrac{\partial }{\partial v}:C^{\infty}(p_0)\longrightarrow{}\mathbb{R} \)

 definidas como, para cualquier función \( f:M\longrightarrow{}\mathbb{R} \) de clase infinito en un entorno de \( p_0 \):

\( \dfrac{\partial }{\partial u}(f)=\dfrac{\partial(f\circ \phi^{-1})}{\partial u} \)

\( \dfrac{\partial }{\partial v}(f)=\dfrac{\partial(f\circ \phi^{-1})}{\partial v} \)

 Por otra parte los coovectores coordenados son:

\(  du: T_{p_0}M\longrightarrow{}\mathbb{R} \)
\(  dv: T_{p_0}M\longrightarrow{}\mathbb{R} \)

 definidos como:

\(  du(X)=X(u) \)
\(  dv(X)=X(v) \)

 (recuerda que los elementos del tangente \( T_{p_0}M \) son derivaciones que llevan funciones en números).

 En particular:

\(  du\left(\dfrac{\partial }{\partial u}\right)=\dfrac{\partial u}{\partial u}=1 \)
\(  du\left(\dfrac{\partial }{\partial v}\right)=\dfrac{\partial u}{\partial v}=0 \)

\(  dv\left(\dfrac{\partial }{\partial u}\right)=\dfrac{\partial v}{\partial u}=0 \)
\(  dv\left(\dfrac{\partial }{\partial v}\right)=\dfrac{\partial v}{\partial v}=1 \)

 es decir la base de covectores coordenados es la dual de la base de vectores coordenados.

Saludos.

[raistlin]

Si, eso lo sé, lo que no se es porque du y dv son los covectores coordenados, como he puesto al principio, el porque \( \frac{d}{du} \) y \( \frac{d}{dv} \) son los vectores coordenados tiene sentido, solo es trazar 2 rectas en la carta y luego si en la variedad se vuelven curvas derivas y ya te salen.

Yo supongo q la otra manera de sacar las coordenadas de la carta sea hacer du y dv (que en la carta coincidirán con \( \frac{d}{du} \) y \( \frac{d}{dv} \) no?) y pasarlos a la variedad, pero no acabo de ver el papel de df=v(f) en ello, aparte q según la segunda imagen que he subido, parece como si esos covectores fueran dx dy dz de la variedad (suponiendo q la variedad tenga 3 dimensiones, para eso sirve la f no? Para hacer de una variedad abstracta algo tangible) y no los du dv de la carta.. 

[Luis Fuentes]

Hola

Si, eso lo sé, lo que no se es porque du y dv son los covectores coordenados, como he puesto al principio, el porque \( \frac{d}{du} \) y \( \frac{d}{dv} \) son los vectores coordenados tiene sentido, solo es trazar 2 rectas en la carta y luego si en la variedad se vuelven curvas derivas y ya te salen.

Es que es la definición; los covectores coordenados son la base dual de los vectores coordenados.

Saludos.

[raistlin]

Pero aun así, en la carta, tanto \( \frac{{\partial }}{{\partial x^i}} \) como \( dx_i \) seria el mismo vector no? quizá esa es la razón? es que las definiciones por que si sin una razón logica detrás no me acaban de gustar..

[Luis Fuentes]

Hola

Pero aun así, en la carta, tanto \( \frac{{\partial }}{{\partial x^i}} \) como \( dx_i \) seria el mismo vector no? quizá esa es la razón? es que las definiciones por que si sin una razón logica detrás no me acaban de gustar..

Pero antes de nada, olvidándonos de la geometría diferencial.

¿Entiendes que no es lo mismo un vector que un covector? Informalemente un vector son esas flechitas que dibujamos normalmente; un covector es un concepto dual, es una aplicación lineal que lleva vectores en números. Su interpretación geométrica ya no es clara, ni obvia ni intutitva.

Saludos.

[raistlin]

Si, ya se que vector y covector no es lo mismo, en la variedad o superficie.

Yo es que geométricamente lo entiendo asi (no se si es correcto):

1-En cualquier sistema de cordenadas (x,y, para no liarnos) tu puedes sacar un ds en una curva como ds^2=dx^2+dy^2 osea que podemos decir que puedes definir dos vectores dx dy sin problema que marcan las coordenadas, esos vectores también se podrían definir en un punto p sin problema, correcto?

2-en cualquier sistema de coordenadas puedes definir dos rectas coordenadas en un punto como \( x=x_p+t \) y \( y=y_p+t \) no? si derivamos esas rectas darían 2 vectores \( \frac{{\partial }}{{\partial x}} \) y \( \frac{{\partial }}{{\partial y}} \) idénticos a los dx dy


Ahora si pasamos a través de una parametrización esas dos rectas a la variedad o superficie (superficie exterior de un volumen) tendríamos 2 curvas coordenadas que si las derivamos en la variedad o superficie en un punto tendríamos los dos vectores \( \frac{{\partial }}{{\partial x}} \) y \( \frac{{\partial }}{{\partial y}} \)

Y si pasamos los vectores 1 a la variedad tendríamos los dx dy que serian diferentes a los \( \frac{{\partial }}{{\partial x}} \) y \( \frac{{\partial }}{{\partial y}} \)

[Luis Fuentes]

Hola

Si, ya se que vector y covector no es lo mismo, en la variedad o superficie.

Yo es que geométricamente lo entiendo asi (no se si es correcto):

1-En cualquier sistema de cordenadas (x,y, para no liarnos) tu puedes sacar un ds en una curva como ds^2=dx^2+dy^2 osea que podemos decir que puedes definir dos vectores dx dy sin problema que marcan las coordenadas, esos vectores también se podrían definir en un punto p sin problema, correcto?

No. No es correcto. La verdad es que no entiendo muy bien lo que haces ahí. No sé si estás sacando lo que suele conocerse como "elemento de línea" o "de superficie". No sé lo que haces.

2-en cualquier sistema de coordenadas puedes definir dos rectas coordenadas en un punto como \( x=x_p+t \) y \( y=y_p+t \) no? si derivamos esas rectas darían 2 vectores \( \frac{{\partial }}{{\partial x}} \) y \( \frac{{\partial }}{{\partial y}} \) idénticos a los dx dy

No. No sé de donde te sacas el "idéntico a los \( dx,dy \)".

Saludos.

[raistlin]

Me da la sensación de que cada vez me entero de menos, corrígeme en este ejemplo todo lo que este mal a ver si consigo aclararme un poco..

u=(2+t) es una recta que empieza en el punto u=2 no? en ese punto podemos definir un incremento du no? que seria du=1 ahora derivamos la recta para sacar su vector tangente \( \frac{{\partial u}}{{\partial t}}=1 \)

Si resulta que esa recta estaba dentro de una carta \( ϕ(x)=(u^2) \) por ejemplo, tendríamos que dx (el covector) seria igual a \( dx=d(u^2)=2udu \) y si sustituimos \( dx=2\sqrt[ ]{x}du \) si quitamos x a ambos lados \( d=\frac{{\partial }}{{\partial t}}=\displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{x}}du \) que no se si es necesario quitar x a ambos lados..

Luego pasamos la recta a la variedad y tendríamos una curva \( x=(2+t)^2 \) que al derivar para sacar el vector tangente \( \frac{{\partial x}}{{\partial t}}=\frac{{\partial x}}{{\partial u}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}} \) si eliminamos la x a ambos lados tenemos que  \( \frac{{\partial }}{{\partial t}}=\frac{{\partial }}{{\partial u}}\frac{{\partial u}}{{\partial t}} \) con lo que tendríamos \( 1\frac{{\partial }}{{\partial u}} \) , claro que tendría mas sentido que el covector fuera \( \frac{{\partial x}}{{\partial u}} \) y no \( \frac{{\partial }}{{\partial u}} \) para hacer la derivada igual que en la carta..

Con lo que al final tendríamos que para el mismo punto en la variedad, \( \frac{{\partial }}{{\partial t}} \) tendría 2 resultados diferentes \( \frac{{\partial }}{{\partial u}} \) y \( \displaystyle\frac{2}{\sqrt[ ]{x}}du \) que serian el vector y covector