¿Existe algun metodo general para poder factorizar estos polinomios?, porque tengo la factorizacion pero no se como hacerla
\( x^4-8x^3+32x^2-64x+64=(x^2-4x+8)^2 \)
y
\( x^4+x^3+2x^2-x+3=(x^2-x+1)(x^2+2x+3) \)
Por ampliar un poco la respuesta conviene tener en cuenta un par de cosas:
- Un polinomio con coeficientes enteros se puede factorizar en polinomios con coeficientes racionales si y solo si se puede factorizar en polinomios con coeficientes enteros.
- No siempre puede hacerse. Aunque cualquier polinomio puede factorizarse en producto de polinomios lineales y cuadráticos con coeficientes reales, estos coeficientes pueden ser irracionales e incluso, si el grado es mayor que \( 4 \), no expresables mediante radicales.
Entonces lo primero es descartar que existan factores lineales, probando con todas las fracciones \( \pm{}\displaystyle\frac{p}{q} \) como posibles raíces, donde \( p\, | \,a_0\textrm{ y }q\, |\, a_n \), el término independiente y el coeficiente principal del polinomio respectivamente.
Hecho esto, solo queda buscar factores cuadráticos. Por el primer punto anterior, lema de factorización de Gauss, podemos buscarlos con coeficientes enteros, para lo que debemos descomponer en factores enteros, positivos y negativos, el coeficiente principal y el término independiente, teniendo en cuenta que
uno de los signos lo podemos tomar arbitrariamente, pues con una elección obtendríamos un par de polinomios y con la otra, los opuestos.
Vamos con tu primer ejemplo: \( x^4-8x^3+32x^2-64x+64 \). Comprobado que no hay raíces racionales, vamos a descomponerlo en producto de dos factores cuadráticos. Como el coeficiente principal es \( 1 \), los de los factores serán ambos \( 1\textrm{ o ambos }-1 \). Escogemos \( 1 \) por simplicidad, pero aquí se nos acaba la arbitrariedad.
El producto de los términos independientes debe ser \( 64 \), lo que nos da un abanico bastante amplio de posibilidades:
\( 64 = 1\cdot{}64 = 2\cdot{}32=4\cdot{}16 = 8\cdot{}8 \)
A los que hay que añadir los productos de los mismos factores, pero negativos. Como los coeficientes principales de los factores son iguales, no necesitamos distinguir los casos \( 1\cdot{}64\textrm{ y }64\cdot{}1, \ldots \), pero si fuesen distintos, si.
¿Por cuál de estas factorizaciones del término independiente empezar? Creo que no se pueden dar reglas, pero una buena idea puede ser repartirlo de la forma más equilibrada posible y positivos. Empecemos entonces con \( 64 = 8\cdot{}8 \). Pondríamos:
\( x^4-8x^3+32x^2-64x+64= (x^2 + ax + 8)(x^2 + bx + 8)=x^4 + (a + b)x^3 + (ab + 16)x^2 + (8a + 8b)x + 64 \)
Identificando los coeficientes de los términos de tercer, segundo y primer grado, tenemos:
\( \begin{array}{l}{a+b=-8}&{(1)}\\{ab+16=32}&{(2)}\\{8(a+b)=-64}&{(3)}\end{array} \)
Las ecuaciones (1) y (3) son idénticas, por lo que podemos prescindir de una de ellas. De (1) tenemos que \( b = - a - 8 \), que sustituida en (2):
\( a(-a - 8) + 16 = 32 \;\Rightarrow{} a^2 +8a + 16 = 0 \;\Rightarrow{}\; a = - 4 \)
Estamos de suerte: si obtenemos dos soluciones enteras, deberíamos continuar con ambas; si no obtenemos ninguna entera, no hay factorización en enteros. Conocido que a = -4 es inmediato que también b = - 4 y la factorización es
\( x^4-8x^3+32x^2-64x+64= (x^2 -4x + 8)(x^2 -4x + 8) = (x^2 - 4x + 8)^2 \)
Pero si no hubiésemos obtenido éxito así, deberíamos haber seguido probando hasta tenerlo o agotar todas las factorizaciones posibles de 64. Si hubiésemos tenido razones para sospechar que era un cuadrado, hubiera sido un poco más directo, claro.
Vamos más resumidamente con el otro ejemplo. Aquí, como \( 3 \) es primo y los coeficientes principales son iguales, solo hay dos factorizaciones a considerar: \( 3 = 1\cdot{}3\textrm{ y }3 = (-1)\cdot{}(-3) \). Empecemos por la positiva:
\( x^4+x^3+2x^2-x+3 = (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 3)=x^4 + (a + b)x^3 + (ab + 4)x^2 + (3a + b)x + 3 \)
\( \begin{array}{l}{a+b=1}&{(1)}\\{ab+4=2}&{(2)}\\{3a+b=-1}&{(3)}\end{array} \)
Haciendo \( (3) - (1) \), queda \( 2a = -2 \;\Rightarrow{}\; a = - 1 \), e inmediatamente \( b = 2 \). Es
necesario comprobar que se cumple (2), pues de lo contrario no hay soluciones. Como así es, ya tenemos nuestra factorización:
\( x^4+x^3+2x^2-x+3 = (x^2 - x + 1)(x^2 + 2x + 3) \)
pero de no haber tenido éxito, deberíamos probar también con:
\( x^4+x^3+2x^2-x+3 = (x^2 + ax -1)(x^2 + bx -3) \)
Si tratas de calcular aquí \( a\textrm{ y }b \), verás que te queda un sistema incompatible.
Lo que te quería insistir es que no hay un método directo, lineal, sino que hay que ir probando las diferentes posibilidades.
Saludos,
