[mazuro]

Hola a todos

La propiedad de densidad dice que dados \( a\in{\mathbb{R}} \)  y  \( b\in{\mathbb{R}} \), existe un \( c\in{\mathbb{Q}} \) tal que \( a<c<b \) esto es equivalente a decir que hay una infinidad de \( c \) entre \( a \) y \( b \)?

Tengo que \( a\in{\mathbb{R}} \)  y  \( b\in{\mathbb{R}} \) existe un \( c_1 \) tal que \( a<c_{1}<b \)

Ahora tengo \( a<c_{1} \), entonces existe \( c_{2} \) tal que \( a<c_{2}<c_{1}<b \)

 Ahora tengo \( a<c_{2} \), entonces existe \( c_{3} \) tal que \( a<c_{3}<c_{2}<c_{1}<b \)
.
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Tengo que \( a<c_{n-1} \), entonces existe \( c_{n} \) tal que \( a<...<c_{n}<c_{n-1}<...<c_{1}<b \)

luego existe una infinidad de \( c \) tales que \( a<c<b \)

Sí? 

Saludos
Gracias

[mathtruco]

Hola mazuro.

Hola a todos

La propiedad de densidad dice que dados \( a\in{\mathbb{R}} \)  y  \( b\in{\mathbb{R}} \), existe un \( c\in{\mathbb{Q}} \) tal que \( a<c<b \) esto es equivalente a decir que hay una infinidad de \( c \) entre \( a \) y \( b \)?

Con esa propiedad estás probando que entre dos reales hay infinitos racionales.

Sobre la demostración, tienes la idea.
Procediendo por reducción al absurdo suponemos por  entre \( a \) y \( b \) existen \( n \) racionales \( c_1,\dots c_n \) tales que

    \( a<c_1<\dots c_n<b \)

Luego, por la propiedad enunciada, entre \( c_n \) y \( b \) existe un \( c_{n+1} \) tal que \( c_n<c_{n+1}<b \), por lo que habrían \( n+1 \) racionales entre \( a \) y \( b \), lo que contradice la hipótesis inicial.

[mazuro]

Muchas gracias