[cristhiam]

Hola.

Demuestra las proposiciones siguientes empleando el método de inducción matemática. Para todo numero natural \( n\ge1 \)

a) \( 1+3+5+...+2n-1=n^2 \)

b) \( 2+4+6+...+2n=n^2+n \)

c) \( 1+2^2+3^2+4^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 \)

No entiendo esto, me ayudan.

[ingmarov]

Hola

Yo no se hacer demostraciones por inducción, pero espero te sirva lo siguiente:

Si queremos sumar los números "1+2+3+4+...+10" podemos sumarlos en pares asi

(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6)=11(5)=55

Puedes probar más sumas y acomodar los números para que todas las parejas sumen lo mismo, llegarás a que

\( S_0=1+2+3+4+\ldots +n=\dfrac{n(n+1)}{2} \)


La segunda suma es

\( S_2=2(1+2+3+4+\ldots +n)=2\left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right) \)

La primera es

\( 1+2+3+4+5+\dots+2n-\bf S_2 \)



La tercera está en la página principal del sitio, aquí

http://rinconmatematico.com/


Saludos

[sugata]

Para probar por inducción, probamos si funciona para \( n=1 \)
En el a)
Efectivamente se cumple para 1.
Suponemos que se cumple para un número \( n \), debemos probar si se cumple para \( n+1 \)
En el lado derecho tenemos \( (n+1)^2=n^2+2n+1 \)
En el lado izquierdo tenemos \( 1+3+5+...+(2n-1)+(2(n+1)-1) \)
Aplicando la hipótesis de inducción, es decir, que es correcto para n.
Seguimos con el lado izquierdo Sustituyendo la hipótesis.
\( n^2+(2(n+1)-1)=n^2+2n+1 \) Que efectivamente se corresponde con el lado derecho.

[delmar]

Hola

El método consiste en demostrar que la proposición es verdad para \( n=1 \) y luego suponiendo que es verdad para \( n \) demostrar que es verdad para \( n+1 \)

Te ayudo con el a)

Para n=1

La parte izquierda de la ecuación es 1
La parte derecha es \( n^2=1^2=1 \)

Se observa que cuando n=1 se cumple, \( 1=1 \)

Para n+1

La parte izquierda no tendrá n términos; sino n+1 y será : \( 1+3+5...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(1+3+5...+2n-1)+2(n+1)-1 \)

Suponiendo que es verdad la ecuación para n se tiene :

\( 1+3+5...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(1+3+5...+2n-1)+2(n+1)-1=n^2+2(n+1)-1=n^2+2n+1=(n+1)^2 \)

Por lo tanto : \( 1+3+5...+(2n-1)+(2(n+1)-1)=(n+1)^2 \)

Cuando hay n+1 términos en el lado izquierdo, la suma da \( (n+1)^2 \) y eso precisamente es lo que nos dice la ecuación. Es una verdad

LQQD

Saludos

Veo que ya contestaron, esto los complementa.

[cristhiam]

gracias por los aportes.

No entiendo bien esto, pero tengo esto para el b)

b) \( 2+4+6+...+2n=n^2+n \)

\( Para n=k --> 2+4+6....2k=k(k+1)  \)

\( Para n=k+1 --> 2+4+6....2(k+1)=(k+1)(k+2)  \)

Demostramos la tesis en base a la hipótesis:

\( k(k+1) +2(k+1)=(k+1)(k+2) \)

\( k^2+k+2k+2=(k+1)(k+2) \)

\( k^2+3k+2=(k+1)(k+2) \)

\( (k+1)(k+2)=(k+1)(k+2) \) Es verdad LQQD


¿Estaría bien?

[sugata]

La notación es muy confusa.
Dices \( k=k+1 \) Esto implica \( 0=1 \)

Sigue con la misma notación de n.
1) n=1 correcto.
2) hipótesis: la fórmula es correcta para n
3) calculamos con n+1
Primer miembro.

\( 2+4+6+...+n+2(n+1)=[color=red](2+4+6+...+n)[/color]+2(n+1) \)
Aplicamos la hipótesis a lo que está en rojo.
\( (n^2+n)+2(n+1) \)

Arreglamos un poco
\( (n^2+2n+1)+(n+1)=(n+1)^2+(n+1) \)
Que es a lo que queríamos llegar.
Si no ves como arreglarlo siempre lo puedes expandir todo.

[feriva]

No entiendo bien esto, pero tengo esto para el b)

Spoiler

b) \( 2+4+6+...+2n=n^2+n \)

\( Para n=k --> 2+4+6....2k=k(k+1)  \)

\( Para n=k+1 --> 2+4+6....2(k+1)=(k+1)(k+2)  \)

Demostramos la tesis en base a la hipótesis:

\( k(k+1) +2(k+1)=(k+1)(k+2) \)

\( k^2+k+2k+2=(k+1)(k+2) \)

\( k^2+3k+2=(k+1)(k+2) \)

\( (k+1)(k+2)=(k+1)(k+2) \) Es verdad LQQD

[cerrar]

¿Estaría bien?

Hola.

Veamos qué has hecho:

Ponlo así

\( Para\, n=k+1-->2+4+6+...+{\color{blue}2k}+2(k+1)=(k+1)(k+2)
  \)

sin comerte el 2k.

La hipótesis es que hasta 2k la suma es

\( 2+4+6+...+2k=k^{2}+k
  \)

Luego sustituimos todos esos sumandos, hasta 2k incluido, por \( (k^{2}+k)
  \) para ver si es verdad (lo que comprobaremos después viendo si la igualdad es cierta).

\( (k^{2}+k)+2(k+1)=(k+1)(k+2)
  \)

Que es, en efecto, lo que has hecho

\( k^{2}+k+2k+2=(k+1)(k+2)
  \)

Es correcto.

Y entonces operas y llegas a que la igualdad es verdad

\( k^{2}+3k+2=(k+1)(k+2)
  \)

Así que la respuesta es sí. Está bien.

Lo has entendido, al menos lo que hay que hacer.

La cuestión teórica es que si se cumple para “n=1”, ya tienes un resultado. A partir de ahí, podría cumplirse para el siguiente “n=2”, para el siguiente a este último, “n=3”... y no cumplirse, por ejemplo, qué sé yo, para “n=4”. Si fuera así, entonces existiría algún “n” para el que por primera vez, en el orden seguido, no es cierta la igualdad (cumpliéndose para los “n” menores que ése y pudiendo cumplirse o no cumplirse para los mayores que ése; da igual eso, si falla por primera vez, ya es mentira en general). En dicho caso, al no cumplirse en general, no llegarías a una igualdad cierta, porque la “n” está representando a todos los números, a los más grandes y también a los más pequeños. De tal forma, si no es cierta para algún “n”, la relación que encuentres no puede decirte nunca que es verdad, pues implicaría decirte que es verdad para algún o algunos “n” que no cumplen la condición.

Saludos.