[isaiasjulian]

1. Calcular el límite de la sucesión \( \displaystyle\frac{cos(n))^2}{3^n} \) sugerencia \( 0<(cos(n))^2<1 \)

2. Encuentre una fórmula para el término general \( a_n \)  de la sucesión \( 1/2,-4/5,9/8,-16/11 \)


Fórmulas editadas con LATEX desde la moderación

[Ignacio Larrosa]

1. Calcular el limite de la susecion {(cos(n))^2/3^n} sugerencia 0<(cos(n))^2<1

El numerador ya te indican que está acotado, siempre es mayor que \( 0\textrm{ y menor que }1 \) mientras que el denominador tiende visiblemente  a \( \infty \). No puede haber dudas entonces de a que tiende el cociente.

2. Encuentre una formula para el termino general a_n  de la sucesion 1/2,-4/5,9/8,-16/11

Analiza por separado los numeradores y denominadores:

Numeradores:  \( 1, - 4, 9, -16, \ldots \)

Denominadores: \( 2, 5, 8, 11, \ldots \)

Estos problemas siempre tienen infinitas soluciones, unas más complicadas que otras. Por eso te piden que encuentres una fórmula para el término general y no la fórmula para el término general. Pero en este caso es muy sencillo encontrar expresiones simples que den cuenta de esos cuatro términos de numerador y denominador.

Spoiler

Para los numeradores, ten encuente que \( (-1)^{n+1}\textrm{ es }1\textrm{ cuando }n\textrm{ es impar y }-1\textrm{ cuando }n \) es par. Por lo demás, aparte del signo, ¿como son esos números?

Para los denominadores, ¿cómo es la diferencia entre dos denominadores consecutivos? ¿Conoces las progresiones aritméticas?

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Saludos,

[delmar]

Hola isaiasjulian

Bienvenido al foro

Como dice ilarrosas hay varias formas para la 2), incluso de razonarlas, aquí va una :

Spoiler

Observa que la sucesión tiene términos de signos alternos, primero positivo, luego negativo y así sucesivamente, una manera de generarlos es utilizando el factor \( (-1)^{n-1} \)

Observa que la parte positiva de los términos es una fracción, cuyo numerador es el cuadrado de su número de orden, n. En el primer término el numerador es \( 1^2=1 \), en el segundo es \( 2^2=4 \), en el tercero es  \( 3^2=9 \) y asi sucesivamente; por lo tanto se puede decir que el numerador en función de su orden es : \( n^2 \).

Respecto al denominador, el correspondiente al primer término es 2, el siguiente es 2+3, el siguiente 2+3(2), el siguiente 2+3(3), esto lo podemos expresar en forma general como 2+(n-1)3, compruebálo.

Por lo tanto el término enésimo de la sucesión es : \( (-1)^{n-1}(\displaystyle\frac{n^2}{2+(n-1)3}) \)

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Saludos

Nota : isaiasjulian, para entendernos mejor, las fórmulas de los enunciados han de estar en LATEX, hay un tutorial