Hola.
Siento el doble post, pero considero que es mejor este nuevo mensaje que no editar el anterior, puesto que no tienen mucho que ver.
He intentado tu idea Gustavo, sin embargo, no llego y no sé donde patino:
De la primera igualdad:
\( \displaystyle \sum_{i=0}^{n-3}(i-1)\binom{n-i}{3}=\binom{n+2}{5} -2\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} \)
Y entonces:
\( \displaystyle \sum_{i=2}^{n-3}(i-1)\binom{n-i}{3} = \displaystyle \binom{n}{3}+\sum_{i=0}^{n-3}(i-1)\binom{n-i}{3} = \displaystyle \binom{n}{3} + \binom{n+2}{5} - 2\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} =^{**}\\ = \displaystyle \binom{n}{3} + \binom{n+2}{5} - 2\sum_{i=3}^{n-3}\binom{i}{3} = \displaystyle \binom{n}{3} + \binom{n+2}{5} - 2\binom{n-2}{4}
\)
Nota:
** Esto creo que está bien hecho, es el paso en el que tengo más dudas. Sé que los binomios tienen simetría y que sumar cuando va hacia arriba y cuando va hacia abajo sale lo mismo, aunque no sé si lo he hecho bien. Luego tras esto, no es más que aplicar la identidad de
Hockey-Stick.
Ahora, esto que he obtenido, lo divido entre \( \displaystyle\binom{n}{3} \) y llego a:
\( 1+\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n+2}{3}}{\displaystyle\binom{n}{3}} - 2 \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n-2}{4}}{\displaystyle\binom{n}{3}} = 1 + \displaystyle\frac{(n+2)(n+1)}{20} - 2\displaystyle\frac{(n-3)(n-4)(n-5)}{4n(n-1)} \)
Y no es lo que quiero. La idea parece funcionar y me elimina los sumatorios bastante fácil y lo convierte todo en binomios con los que se puede trabajar, pero debo patinar en algún sitio y no sé en cuál.
Saludos y gracias por la ayuda.
EDITO:
Ya vi el patinazo, y es donde me temía.
\( \displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} = \sum_{i=3}^{n-3}\binom{i}{3} \)
Esto está mal, en verdad es:
\( \displaystyle\sum_{i=0}^{n-3}\binom{n-i}{3} = \sum_{i=3}^{n}\binom{i}{3} \)
Quedando al final:
\( 1+\displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n+2}{3}}{\displaystyle\binom{n}{3}} - 2 \displaystyle\frac{\displaystyle\binom{n+1}{4}}{\displaystyle\binom{n}{3}} = 1 + \displaystyle\frac{(n+2)(n+1)}{20} - 2\displaystyle\frac{n+1}{4} = \frac{n^2+3n+22}{20} - \frac{10n+10}{20} = \frac{n^2-7n+12}{20} \)
Que es lo que buscaba.
Gracias!
