Hola cristianoceli. Efectivamente, el problema tiene toda la pinta de ser abordado de el Teorema del Valor Intermedio.
Si \( f \) es constante en un subintervalo de \( [0,1] \) estamos listos. Supongamos que éste no es el caso.
Como la función es continua, alcanza su máximo y mínimo en \( [0,1] \). Supongamos que su mínimo es \( m \) y es tal que \( m< f(0)=f(1) \) (si no es el caso trabajamos con el máximo, es análogo).
Para mi simplicidad, supongamos además que \( m=0 \). Si no es el caso hay que trabajar con \( \hat f=f+m \) o \( \hat f=f-m \) para que el mínimo de \( \hat f \) sea cero en \( m \).
Definimos \( x_1=m-\dfrac{1}{2n} \) y \( x_2=m+\dfrac{1}{2n} \), con \( n \) suficientemente grande para que \( x_1,x_2\in (0,1) \).
Notamos que \( |x_1-x_2|=\dfrac{1}{n} \).
- Si \( f(x_2)>f(x_1) \) entonces el Teorema del Valor Intermedio asegura que existe \( x_2'\in (c,x_2) \) tal que \( f(x_1)=f(x_2') \). En este caso llamamos \( x_n:=x_1 \) y \( y_n:=x_2' \).
- Si \( f(x_2)<f(x_1) \) entonces el Teorema del Valor Intermedio asegura que existe \( x_1'\in (x_1,c) \) tal que \( f(x_1')=f(x_2) \). En este caso llamamos \( x_n:=x_1' \) y \( y_n:=x_2 \).
Como \( [x_n,y_n]\subseteq [x_1,x_2] \), entonces \( |x_n-y_n|<|x_1-x_2|=\dfrac{1}{n} \), con \( f(x_n)=f(y_n) \).
