[cristhiam]

Hola.
Tengo que racionalizar la expresión \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}+2}{2}}=  \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}}{\sqrt[ ]{2}} . \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{2}}=   \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}(  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   )}{(\sqrt[ ]{2})^2} =    \)
Hasta aquí llegó, como se multiplica en el numerador  radicales con radicales internos, por favor me explican paso a paso para entender, gracias.

[Ignacio Larrosa]

Hola.
Tengo que racionalizar la expresión \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}+2}{2}}=  \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}}{\sqrt[ ]{2}} . \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}}{\sqrt[ ]{2}}=   \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}(  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   )}{(\sqrt[ ]{2})^2} =    \)
Hasta aquí llegó, como se multiplica en el numerador  radicales con radicales internos, por favor me explican paso a paso para entender, gracias.

Simplemente ten en cuenta que el producto de raíces del mismo índice es igual a la raíz, del mismo índice, del producto. Para radicandos positivos, se entiende. Entonces,

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   }{(\sqrt[ ]{2})^2} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   }{2} = \displaystyle\frac{  \sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2}+4}  }{2}  \)

Cualquiera de las dos últimas expresiones ya esta racionalizada (= con denominador racional), pero la última puede considerarse más sencilla al tener una raíz menos.

Saludos,

[cristhiam]

el producto de raíces del mismo índice es igual a la raíz, del mismo índice, del producto. Para radicandos positivos, se entiende. Entonces,

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   }{(\sqrt[ ]{2})^2} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   }{2} = \displaystyle\frac{  \sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2}+4}  }{2}  \)

Como llegas a la última expresión porque si yo multiplicó \( \sqrt[ ]{2} \) de afuera con \( \sqrt[ ]{2} \)  de adentro del otro radical, mantengo el mismo radical con raiz cuadrada y radicando 2 con radicando 2 se multiplican y llego a \( \sqrt[ ]{4} \)... obtengo esto:
\( \displaystyle\frac{    \sqrt[ ]{   \sqrt[ ]{4} +2\sqrt[ ]{2}      }      }{2} \)

¿Por qué pones solo 4?

[robinlambada]

Hola.

el producto de raíces del mismo índice es igual a la raíz, del mismo índice, del producto. Para radicandos positivos, se entiende. Entonces,

\( \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   }{(\sqrt[ ]{2})^2} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{2}  \sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}   }{2} = \displaystyle\frac{  \sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2}+4}  }{2}  \)

Como llegas a la última expresión porque si yo multiplicó \( \sqrt[ ]{2} \) de afuera con \( \sqrt[ ]{2} \)  de adentro del otro radical, mantengo el mismo radical con raiz cuadrada y radicando 2 con radicando 2 se multiplican y llego a \( \sqrt[ ]{4} \)... obtengo esto:
\( \displaystyle\frac{    \sqrt[ ]{   \sqrt[ ]{4} +2\sqrt[ ]{2}      }      }{2} \)

¿Por qué pones solo 4?

Tu racionalización está mal.

Como ejemplo:  \( \sqrt[ ]{a}\cdot{}\sqrt[ ]{b}=\sqrt[ ]{a\cdot{}b} \)

En tu caso \( a=2 \) y \( b=\sqrt[ ]{2}+2 \)

Saludos.

[cristhiam]

Primero gracias por responder.

Como ejemplo:  \( \sqrt[ ]{a}\cdot{}\sqrt[ ]{b}=\sqrt[ ]{a\cdot{}b} \)

En tu caso \( a=2 \) y \( b=\sqrt[ ]{2}+2 \)

Saludos.

Eso sí comprendo. 😳creo que no me entienden.... Lo que me confunde cuando se tiene una raiz dentro de otra, Por ejemplo, un caso así lo entiendo:
\( \sqrt[ ]{2}.(\sqrt[ ]{2}+2) =\sqrt[ ]{4}+2\sqrt[ ]{2}=2+2\sqrt[ ]{2} \)
Pero en este caso, en donde hay una raíz dentro de otra raiz, esa raíz principal es mi problema:
\( \sqrt[ ]{2}.\sqrt[ ]{     \sqrt[ ]{2}+2} \)

Creo  que ambos casos son distintos.
Nuevamente gracias por la paciencia.

[Ignacio Larrosa]

Pero en este caso, en donde hay una raíz dentro de otra raiz, esa raíz principal es mi problema:
\( \sqrt[ ]{2}.\sqrt[ ]{     \sqrt[ ]{2}+2} \)

Recuerda que al multiplicar raíces del mismo índice, hay que multiplicar los radicandos y dejar la raíz del mismo índice. En tu ejemplo tienes el producto de dos raíces cuadradas. El radicando de la primera es \( 2 \), mientras que el de la segunda es  \( \sqrt[ ]{2}+2 \).

Entonces el producto es una raíz cuadrada cuyo radicando es el producto de estos dos:

\( \sqrt[ ]{2}\sqrt[ ]{\sqrt[ ]{2}+2}=\sqrt[ ]{2\left(\sqrt[ ]{2}+2\right)} \)

Si ahora quitas el paréntesis dentro de la raíz, te queda

\( \sqrt[ ]{2\left(\sqrt[ ]{2}+2\right)}= \sqrt[ ]{2\sqrt[ ]{2}+ 4} \)

Como regla práctica a veces se dice que para meter algo dentro de una raíz cuadrada hay que elevarlo al cuadrado, y para sacarlo, sacarle la raíz cuadrada, como en

\( a\sqrt[ ]{b}=\sqrt[ ]{a^2b} \)

Naturalmente si en lugar de ser una raíz cuadrado es de otro indice, pues al intoducir algo hay que elevarlo a la potencia correspondiente.

Si no te queda claro, no dudes en volver a preguntar.

Saludos,

[cristhiam]

Como regla práctica a veces se dice que para meter algo dentro de una raíz cuadrada hay que elevarlo al cuadrado, y para sacarlo, sacarle la raíz cuadrada, como en

\( a\sqrt[ ]{b}=\sqrt[ ]{a^2b} \)

Naturalmente si en lugar de ser una raíz cuadrado es de otro indice, pues al intoducir algo hay que elevarlo a la potencia correspondiente.

Saludos,

Con esto me quedo claro, gracias.

Saludos.