Hola
Supongo que por \( E_Xg(x) \) te refieres a la esperanza de la variable aleatoria \( g(X) \), es decir,
\( E_Xg(x)=\displaystyle\int g(x)f(x)dx \)
siendo \( f(x) \) la función de densidad de \( X \).
En ese caso hay algo que me despista: no tienes sentido que digas que esas desigualdades se cumplen "para todo valor del intervalo" ya que son número que no dependen de X.
Desde luego siempre pueden escogerse números:
\( x\geq z\geq y \)
\( y'\geq z'\geq x' \)
de manera que NO EXISTE ningún \( a \) tal que:
\( ax'+(1-a)y'\geq z \)
\( ax+(1-a)y\geq z \)
La condición para que SI EXISTA a es:
\( \displaystyle\frac{z'-x'}{y'-x'}+\displaystyle\frac{x-z}{x-y}\geq 1 \) (I)
En nuestro caso:
\( x=E_Xg(x),\quad y=E_Yg(x),\quad z=E_Zg(x) \)
\( x'=E_Xh(x),\quad y'=E_Yh(x),\quad z'=E_Zh(x) \)
Y no veo claro que con las hipótesis que impones sobre \( h \) y \( g \) y total libertad para elegir las variables aleatorias tenga que cumplirse (I). Lo definitivo sería encontrar un contraejemplo. De todas formas sería bueno experimentar con una buena batería de ejemplos.
Los casos más triviales que he pensado no me valen, porque en realidad ni siquiera cumplen las hipótesis. Digamos que me parece más trabajoso encontrar ejemplos de manera que tengas tus hipótesis, que luego modificarlos para que no se cumpla (I).
Saludos.
