[mvm]

Hola Buenas tardes, me podrían ayudar con dos problemas muy típicos de probabilidad, se trata de determinar la función de probabilidad y de distribución en estos dos problemas :

1- Un profesor formula preguntas a un estudiante hasta que falla una. La probabilidad de que el estudiante acierte una pregunta cualquiera es 0.9. Sea X la variable aleatoria que nos da el número de preguntas formuladas por el profesor.

2- Un examen tipo test consta de 5 preguntas, cada una con tres opciones de respuesta, sólo hay una opción correcta. Un estudiante contesta al azar a las cinco preguntas. Sea X la variable aleatoria que da el número de puntos obtenidos por el alumno. a) Si las respuestas erróneas no restan puntos, b) Si cada respuesta resta 1 punto.

Muchísimas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

1) Veamos.

 X=1, si el estudiante falla a la primera. Esto ocurre con probabilidad (1-0.9). Por tanto:

\(  P(X=1)=(1-0.9) \)

 X=2, si el estudiante acierta la primera y  falla a la segunda. Esto ocurre con probabilidad 0.9 y (1-0.9) respectivamente. Por tanto:

\(  P(X=1)=0.9\cdot (1-0.9) \)

 X=3, si el estudiante acierta las dos primeras y  falla a la segunda. Esto ocurre con probabilidad 0.9, 0.9 y (1-0.9) respectivamente. Por tanto:

\(  P(X=2)=0.9^2\cdot (1-0.9) \)

 Concluye cual será \( P(X=n). \)

 2.1) Supongamos que los fallos no restan. Entonces los puntos obtenidos son el número de caiertos. Se trata exactamente de una bionmial de \( 5 \) experimentos con probabilidad de acierto \( 1/3 \). Luego:

\(  P(X=n)=\displaystyle\binom{5}{n}(1/3)^n(2/3)^{5-n} \)

 2.2) Supongamos que los fallos restan. Llamemos Y a esta nueva variable. Ahora los puntos obtenidos pueden ser:

Y=5 (si acierta todas), Y=4-1=3 (si falla 1), Y=3-2=1 (si falla 2), ecétera...

En general si X es el número de aciertos, los puntos obtenidos son:

\( Y=X-(5-X)=2X-5 \) o equivalentemente \( X=\displaystyle\frac{Y+5}{2} \)

Podemos aprovecharnos de lo razonado en 2.1)

\( P(Y=n)=P(X=\displaystyle\frac{5+n}{2}) \) si \( n\in \{5,3,1,-1,-3,-5\} \)

Saludos.