Hola
Una forma es considerar las definiciones de derivada y de límite de una sucesión.
Por definición de derivada : \( f'(c)=\displaystyle\lim_{x \to{}c}{\displaystyle\frac{f(x)-f(c)}{x-c}} \), esto significa :
\( \forall{\epsilon>0}, \ \ \exists{\delta >0} \ / \ \left |{\displaystyle\frac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c)}\right |<\epsilon, \ \ si \ \ 0<\left |{x-c}\right |<\delta \)
Por definición de límite de una sucesión ;
\( \forall{\epsilon_1>0}, \ \exists{N_1\in{Z^+}} \ / \ \left |{x_n-c}\right |<\epsilon_1, \ \ si \ \ n\geq{N_1} \)
Considerando \( \epsilon_1=\delta \) se tiene :
\( \exists{N\in{Z^+}, \ / \ \left |{x_n-c}\right |<\delta, \ si \ \ n\geq{N}} \)
Por lo tanto se puede concluir :
\( \forall{\epsilon>0}, \ \exists{N\in{Z^+}}, \ / \ \left |{\displaystyle\frac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}-f'(c)}\right |<\epsilon, \ \ si \ \ n\geq{N} \)
Por definición de límite de sucesiones se tiene entonces :
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{f(x_n)-f(c)}{x_n-c}}=f'(c) \)
Saludos
