Hola
Considerando A como el área del triángulo, por geometría se tiene :
\( A=\displaystyle\frac{base \ altura}{2} \)
Considerando como base a y, la altura respecto a la base será : \( x \ sen (\theta) \), luego el área será :
\( A=\displaystyle\frac{y \ x \ sen (\theta)}{2} \), osea es una función de tres variables.
Sin embargo por el enunciado del problema, se sabe que \( x,y,\theta \) son funciones del tiempo t, luego A también es una función del tiempo y entonces la fórmula del área se puede poner :
\( A(t)=\displaystyle\frac{x(t) \ y(t) \ sen (\theta(t))}{2} \)
Considerando la derivada del producto de funciones yla regla de la cadena, la derivada respecto al tiempo será :
\( A'(t)=(xy)' \ sen(\theta)+(xy) \ cos (\theta) \ \theta'=(x' \ y+x \ y') \ sen(\theta)+(xy) \ cos (\theta) \ \theta' \) Ec. 1
Considerando los datos del problema, para un t tal que :
\( x=10, \ \ y=8, \ \ \theta=\displaystyle\frac{\phi}{6} \)
\( x'=0.3, \ \ y'=0.5, \ \ \theta'=0.1 \)
Se puede hallar \( A'(t) \), sustituyendo en la Ec. 1
Una observación puede ser que exista una errata y en lugar de \( \phi \) sea \( \pi \), en ese caso la respuesta es un número, en caso contrario será en función de \( \phi \)
Saludos
