[follonic]

En su novela, Julio Verne imagina un cañón que envía un proyectil a la Luna. Imaginación tenía, ahora bien, de Física, ni idea. Porque para construir ese 'cañon' habría que determinar:

a) velocidad inicial mínima del proyectil(\( v_0 \)) en el momento de lanzamiento, de manera que la misma haga despreciable toda interacción gravitatoria(el proyectil ha de impactar en la Luna sólo por virtud de dicha \( v_0 \) mínima)

b) el ángulo de lanzamiento para hacer que \( v_0 \) sea la mínima;

c) las coordenadas del lugar de lanzamiento para hacer que \( v_0 \) sea la mínima;

d) el momento del lanzamiento, computado, en su caso, dentro de una órbita lunar completa.

e) la velocidad en el momento del impacto en la Luna(\( v_f \))

f) el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el impacto

 El proyectil puede impactar en cualquier lugar de la Luna


(Con los cálculos hechos, sale una historia mejor que la novela)

[Richard R Richard]

Ya puesto en un domingo a contestar hilos viejos...

En su novela, Julio Verne imagina un cañón que envía un proyectil a la Luna. Imaginación tenía, ahora bien, de Física, ni idea. Porque para construir ese 'cañon' habría que determinar:

a) velocidad inicial mínima del proyectil(\( v_0 \)) en el momento de lanzamiento,

Es que si fuera un solo disparo, casi instantáneo , no habría materiales que resistan tal explosión, y suponiendo que resistan, tienes que tener en cuenta la resistencia del aire, y luego 1000 cosas mas.



 

de manera que la misma haga despreciable toda interacción gravitatoria(el proyectil ha de impactar en la Luna sólo por virtud de dicha \( v_0 \) mínima)

Si desprecias la gravedad, solo se requiere un cálculo de trayectoria, no importa el tiempo que pase, aun con velocidad mínima casi nula si apuntas bien ,en algun momento llegarías a la luna. Así que Verne imagina un cañón porque sabe que debe elevarse alto, pero de aerodinámica y fuerzas g nada.

b) el ángulo de lanzamiento para hacer que \( v_0 \) sea la mínima;

Lo lógico es apuntar hacia arriba no? Es decir ,nunca ví un cohete salir de inclinado, al menos en los primeros kilómetros... Igualmente puestos a hacer SCIFI despreciando el 99 % de la física, la aerodinámica y la resistencia de materiales,  lo que conviene no es lanzar hacia arriba , sino todo lo contrario,  taladrar un orificio que atraviese la tierra, dejar caer el cohete con su lanzador, que alcanzarán máxima velocidad en el centro de la tierra y justo allí disparar la bala-cohete, así alcanzarás el máximo Delta V  con la menor cantidad de energía de combustible  quemado en la explosión o  podrás alcanzar mayor altura con el mismo combustible.
 Además no tienes que llegar a calcular de alcanzar la distancia a la luna, solo cruzar la distancia donde la gravedad de la luna sea mayor que la de la tierra y la nave caerá sola en cualquier punto de la luna por su propia gravedad. Es decir tienes que superar la altura del punto de Lagrange L1.

c) las coordenadas del lugar de lanzamiento para hacer que \( v_0 \) sea la mínima;

d) el momento del lanzamiento, computado, en su caso, dentro de una órbita lunar completa.

Ya dije como sería mínima, pero mas allá de eso , la tierra rota sobre su eje, y la luna se desplaza girando, así que el agujero en la tierra o bien es curvo ( porque  la velocidad no es infinita y la tierra gira mientras la nave la atraviesa), o bien disparas desde el polo Norte o el sur, pero en todo caso  es un ejercicio de dinámica y cinemática en 3d.
Obviamente hay un mínimo  de velocidad también lanzando  hacia arriba, escogiendo un lugar cercano al ecuador y una ventana de tiempo precisa.

e) la velocidad en el momento del impacto en la Luna(\( v_f \))

Si no quieres chocar con la luna,  lleva contigo otro cañon, que te impulse ascendentemente perpendicular a la superficie lunar  justo la velocidad de escape de la luna, detona instantes antes impactar, porque nunca llegarás a la superficie con menos velocidad que la de escape de la luna.

f) el tiempo transcurrido desde el lanzamiento hasta el impacto

Como dije dejando de lado  un montón de restricciones, sigue siendo un cálculo cinemático, y aún si lo quieres ver como un cálculo balísticos entre dos esferas en rototraslación en el vacío, hay infinitas trayectorias con infinitos tiempos de duración que logran el objetivo.

El proyectil puede impactar en cualquier lugar de la Luna

(Con los cálculos hechos, sale una historia mejor que la novela)

Con el diario de ayer todos podemos llegar a la luna, el tema es sobrevivir para contarlo.
Lo genial de la historia es contarla con el experimento mental mas simple.

[Tachikomaia]

lo que conviene no es lanzar hacia arriba , sino todo lo contrario,  taladrar un orificio que atraviese la tierra, dejar caer el cohete con su lanzador, que alcanzarán máxima velocidad en el centro de la tierra y justo allí disparar la bala-cohete, así alcanzarás el máximo Delta V  con la menor cantidad de energía de combustible  quemado en la explosión o  podrás alcanzar mayor altura con el mismo combustible.

Qué interesante 
¿Pero disparar desde el centro o justo donde el pozo llega a la altura normal? ¿no importa? Asumo, desde el centro con un agujero la bala sería atraída hacia cada costado.

Sino, dijiste desde la línea del Ecuador creo, pero ¿no sería mejor desde el Everest?

[Richard R Richard]

¿Pero disparar desde el centro o justo donde el pozo llega a la altura normal? ¿no importa? Asumo, desde el centro con un agujero la bala sería atraída hacia cada costado.

Se trata de que el lanzador con la nave-bala, adquieren la energía cinética equivalente a su potencial gravitatorio en la superficie, cuando alcanza esa máxima velocidad allí disparas la nave, la energía cinética es proporcional al cuadrado de la velocidad, por lo que lograra mayor energía cinética que si parte desde cero.


Si $$r$$ es la distancia al centro de la tierra y $$R_t$$ el radio de la tierra  la velocidad en el centro es $$v=\sqrt{\dfrac{2GM_t}{R_t}}$$


Si cuando la bala se dispara adquiere velocidad $$\Delta v$$  su energía cinética en la superficie es  $$Ec1=\dfrac12m_c\Delta^2 v$$  ese $$\Delta v$$ debe similar a la velocidad de escape terrestre ligeramente inferior porque la Luna ayuda.


Pero si disparas en el centro la velocidad pasa a ser $$v+\Delta v$$ por lo que su energía cinética es $$Ec2=\dfrac12m(v+\Delta v)^2$$ , y cuando llegue de vuelta a superficie haba consumido la la energía del potencial gravitatorio $$Ec3=\dfrac12m_c v^2=\dfrac{GM_tm}{R_t}$$   así  la energía cinética total que le queda es
$$Ecf=Ec2-Ec3=\dfrac12m(v+\Delta v)^2-\dfrac12m_c v^2=\dfrac12m_c v^2+\dfrac12m_c v\Delta v+\dfrac12m_c \Delta^2v-\dfrac12m_c v^2=\dfrac12m_c v\Delta v+\dfrac12m_c \Delta^2v$$


Si comparas las dos energía cinéticas en la superficie   Ecf con Ec1 veras que se cumple que      $$Ecf=\dfrac12m_c v\Delta v+Ec1>>Ec1$$ por lo que has ganado mas energía con el mismo disparo  es decir cuando salga disparado desde la superficie su velocidad será $$v_f=\sqrt{v\Delta v+\Delta^2 v}>>\Delta v$$  . Es decir usas menos combustible para llegar a la misma altura  $$r$$ , o bien llegas mas rápido con el mismo combustible.

Sino, dijiste desde la línea del Ecuador creo, pero ¿no sería mejor desde el Everest?

Lo que dije es que si perforas el orificio en el ecuador, suponiendo que la tierra gira, mientras cae hasta el centro teóricamente le lleva unos 21 minutos, en ese tiempo la superficie de la tierra se mueve bastante, ya que viaja a 1600km/h debes entonces corregir  , no puedes conservar el momento angular, ya que aparte de velocidad de descenso tendrás velocidad tangencial, por lo que  de no compensarse la nave  choca con las paredes laterales del pozo, en cambio si perforas en los polos el pozo puede ser recto, ya que viaja por el eje de rotación.   Pero claro con un pequeña lección de geología vemos que esto es imposible porque las paredes de dicha perforación se desmoronan , ya que el interior de la tierra es fluido , no solido, así que esto es solo aplicable a planetas,asteroides etc, sólidos.
 
El Everest puede ser una opción porque estas mas alejado del centro de la tierra, pero , como la gravedad solo disminuye una millonésima parte cada 3m, la diferencia de gravedad entre la superficie y la punta de la montaña es solo de una centésima de metro sobre segundo cuadrado. Es decir en un caso hipotético real  ganarías más porque el aire es mas ligero o menos denso a esa altura y por lo tanto frena menos el cohete, que por la diferencia de altura entre la montaña y el nivel el mar.
Además se prefieren  las zonas de lanzamiento cercanas al ecuador para lanzar porque también es útil la velocidad de tangencial de la tierra al rotar, que contribuye a que el $$\Delta v$$ necesario sea menor para alcanzar la velocidad de escape, es por eso que para lanzar satélites  USA (NASA) lanza en Miami en el sur, y Europa (ESA) en Guayana Francesa, y tanto Rusia (Roscosmos), China(CNSA), India(ISRO), Japón(JAXA), buscan terrenos lo mas al sur posible cuanto mas cerca del ecuador mejor. Pues lograr un menor $$\Delta v$$ requiere menos aceleración, y eso lleva a necesitar menos peso y combustible ya que el 90% del peso de un cohete es el propio combustible de impulsión.