Hola.
Buenas tardes; estaba haciendo ejercicios de campo gravitatorio y me he encontrado con este problema que no sé muy bien como abordar. ¿Alguien podría ayudarme? Muchas gracias y un saludo.
Se perfora un pozo de pequeño diámetro desde la superficie de la Tierra radialmente hasta su centro.Despreciando la rotación de la tierra y la resistencia del aire y considerando que la Tierra es una esfera uniforme. Calcule:
a) El campo y el potencial gravitatorio en el interior y el exterior del pozo en función de la distancia al centro de la Tierra.
b) Si se dejase caer un objeto por la abertura del pozo en la superficie terrestre, ¿con qué velocidad llegaría al centro?
c) ¿Cuál es la velocidad de escape de una partícula de masa 10 kg proyectada desde el centro de la Tierra?
Datos: RT= 6370 km; MT=5,97×1024 kg
Para el a) Para distancias al centro mayores que el radio terrestre \( r>R_t \) es la expresión conocida inversa del cuadrado de las distancias.
\( g_{ex}=G\displaystyle\frac{M_t}{r^2} \)
Para el interior \( r\leq{}R_t \) , \( g_{in}=G\displaystyle\frac{M_t}{R_t^2}r \)
Para el b) Aplico que \( -\Delta E_p=\Delta E_c \)
\( -\displaystyle\int_{R_t}^{0}G\displaystyle\frac{M_t}{R_t^2}r\,dr=\displaystyle\frac{1}{2}mv^2 \) , y despejas la velocidad.
c) para este igual \( -\Delta E_p=\Delta E_c \) , pero desde el centro ( r=0) al infinito. con \( v_\infty=0 \)
Pero debes separar la integral de la energía potencial en dos ( interior y exterior a la tierra)
\( -\displaystyle\int_{0}^{\infty}g\,dr=-\displaystyle\int_{0}^{R_t}g_{in}\,dr-\displaystyle\int_{R_t}^{\infty}g_{ex}\,dr=0-\displaystyle\frac{1}{2}mv_o^2 \)
Saludos.
