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Hola, buenas tardes necesito ayuda acerca del planteamiento de estos tipos de problemas, cuándo a priori no se te ocurre una biyección (aunque veas dicho homeomorfismo en el espacio)

Por ejemplo dotados de la topología inducida por la topología usual del correspondiente espacio euclídeo(\( d_2 \)) probar que son homeomorfos;

El cilindro vertical \( X=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}:x^2+y^2=1\} \)
 y el plano agujereado \( Z=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \)

Gracias de antemano

Saludos.

[Fernando Revilla]

Hola, buenas tardes necesito ayuda acerca del planteamiento de estos tipos de problemas, cuándo a priori no se te ocurre una biyección (aunque veas dicho homeomorfismo en el espacio)

Habría que analizar cada caso.

Por ejemplo dotados de la topología inducida por la topología usual del correspondiente espacio euclídeo(\( d_2 \)) probar que son homeomorfos;
El cilindro vertical \( X=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}:x^2+y^2=1\} \) y el plano agujereado \( Z=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \)

Considera \( f:Z\to X\;,\quad f(r\cos\theta,r\sin\theta)=(\cos \theta,\sin\theta,\ln r)\;(r>0) \),

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¡Gracias!, podrías detallar brevemente cuál fue tu pensamiento en este caso para definir dicha aplicación, me refiero a la manera en cómo pensaste que iban a ser las cosas y a los detalles que tuviste en cuenta.

Saludos.

Pd: Si tienes algún libro/documento que hable de este tema o expongan ejemplos(muchos a poder ser) de este nivel más o menos házmelo saber

[Fernando Revilla]

¡Gracias!, podrías detallar brevemente cuál fue tu pensamiento en este caso para definir dicha aplicación, me refiero a la manera en cómo pensaste que iban a ser las cosas y a los detalles que tuviste en cuenta.

Observa que \( (r\cos \theta,r\sin \theta) \) con \( r>0 \) y \( \theta\in \mathbb{R} \) proporciona todos los puntos de \( Z=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \). Tenemos que asociar a cada uno de estos puntos uno del cilindro. Cada uno de los del cilindro es de la forma \( (\cos t,\sin t,\lambda) \) con \( t\in \mathbb{R} \) y \( \lambda\in \mathbb{R} \). Dado que cuando \( r \) recorre los reales positivos \( \log r \) recorre los reales, parece natural definir \( f \) como indiqué.

Pd: Si tienes algún libro/documento que hable de este tema o expongan ejemplos(muchos a poder ser) de este nivel más o menos házmelo saber

No tengo, pero puedes puedes plantear las dificultades de los que encuentres con un buscador.