[cristianoceli]

Hola estoy un poco complicado con encontrar los 10 primeros términos en este ejercicio

Sea \( c\in{R} \) no diadico. \( \forall{m\in{N}} \) ,existe un único \( p_m\in{Z} \) tal que

\( \displaystyle\frac{p_m}{2^m} < c < \displaystyle\frac{p_m+1}{2^m}  \)

Definamos \( a_m=\displaystyle\frac{p_m}{2^m}   \) y \( b_m=\displaystyle\frac{p_m+1}{2^m} \)

Calcule los \( 10 \) primeros términos de la la sucesión \( (a_m) \) y \( (b_m) \) cuando \( c=\sqrt[ ]{3} \)

Lo único que he podido concluir es que \( lim (a_m)  \)  \( = \) \( lim (b_m) \) \( = \sqrt[ ]{3} \)

y que \( a_m < \sqrt[ ]{3}<b_m \)

[EnRlquE]

Hola cristianoceli.

 Tenemos que resolver \( \frac{p_{m}}{2^{m}}<\sqrt{3}<\frac{p_{m}+1}{2^{m}} \) para los diez primeros números naturales (entonces la respuesta depende de si estás considerando o no que \( 0\in\mathbb{N}, \) pero esto no es muy importante). Nota que las desigualdades son equivalentes a \( p_{m}<\sqrt{3}\cdot 2^{m}<p_{m}+1. \) De esto se deduce que \( p_{m}=\lfloor\sqrt{3}2^{m}\rfloor \) para todo \( m\in\mathbb{N}. \)

 Si queremos los valores exactos hay que hacer algunas cuentas y, si queremos evitar la raíz cuadrada, podemos aprovechar que las desigualdades (sabiendo que \( p_{m}>0 \) para todo \( m\in\mathbb{N} \)) son equivalentes a \( p_{m}^{2}<3\cdot 2^{2m}<(p_{m}+1)^{2}. \) Entonces por ejemplo para \( m=4 \) tenemos que resolver \( p_{4}^{2}<768<(p_{4}+1)^2. \) Si no me he equivocado en las cuentas obtenemos que \( p_{4}=27. \) Y lo mismo podemos hacer para encontrar los demás valores de \( p_{m}. \)

Saludos,

Enrique.

[cristianoceli]

Vale entiendo.

Saludos