[franhdez]

Buenas, tengo el siguiente ejercicio:

Calcula la integral de línea de la siguiente función, sobre la curva que se indica:

\( f(x, y, z) = x·e^z \)
en la curva del plano OXY dada por \( y = x^2,  x ∈ [0, 1] \).

Lo primero que hago, en mi caso, es dibujar \( y = x^2, x ∈ [0, 1] \).
En otras integrales de línea lo que hago es sacar las curvas, en función de t pero en este caso tengo dudas de cuáles son (las que luego derivo y sustituyo en \( \displaystyle\int_{0}^{1}f(x)ds \) ).

A parte, ¿cuál es el significado "sencillo" de una integral de línea? He pensado que puede ser la longitud de la curva, pero no estoy seguro  
Muchas gracias.

[delmar]

Hola franhdez

Bienvenido al foro

El integral de línea de una función escalar f, se define : \( \displaystyle\int_{C}^{} \ f \ ds \), donde \( s \) es la longitud de la curva C; para esto hay que poner la curva y la función en forma paramétrica, es decir la curva en función de una sola variable escalar. Como dato se tiene :

Para la curva C, un punto genérico es : \( \vec{r(x)}=(x,x^2,0), \ \ x\in{[0,1]} \)

Nos damos cuenta que C en esa forma, esta parametrizada y su parámetro es x

En esas condiciones para un punto \( \vec{r(x)} \) de C se tiene : \( f(x,y,z)=xe^0=x \)

El diferencial de longitud será : \( ds= \left\|{\frac{d\vec{r}}{dx}}\right\|\ dx \)

\( \frac{d\vec{r}}{dx}=(1,2x,0)\Rightarrow{ \left\|{\frac{d\vec{r}}{dx}}\right\|=\sqrt[ ]{1+4x^2}} \)

Por lo tanto se tiene : \( \displaystyle\int_{C}^{} \ f \ ds=\displaystyle\int_{0}^{1}\ x \ \sqrt[ ]{1+4x^2} \ dx \)

Eso es integrable.

Respecto a un significado sencillo del integral de línea, la masa, de un alambre que se presenta como una curva C, en este caso f es la densidad lineal por ejemplo en \( gramos/metro \)

Saludos

[franhdez]

¡¡Gracias!!