Autor Tema: Construir un modelo, completitud

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25 Mayo, 2017, 03:35 am
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alexpglez

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Buenas tardes,
Estoy siguiendo el libro de Carlos Ivorra Lógica2 y estoy perdido en la pag. 123 donde se construye un modelo dado un conjunto maximalmente consistente y ejemplificado.
¿No faltaría comprobar que toda fórmula, dada una valoración, es verdadera o falsa en tal estructura, y no puede ser las dos a la vez, para saber si es un modelo? ¿O comprobar algo parecido?

Estoy pensando que quizá, ello un colorario de la definición de modelo: que toda relación lleva a un valor de verdad del modelo.
Por lo tanto, quizá lo que no había comprendido es que de verdad es una relación, es decir, que lleva asociado un valor de verdad (la relación construida en la demostración). Y esto se da porque el conjunto de fórmulas es maximalmente consistente.

En todo caso pregunto por si acaso ando equivocado.

Gracias, saludos


25 Mayo, 2017, 09:47 am
Respuesta #1

Carlos Ivorra

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Buenas tardes,
Estoy siguiendo el libro de Carlos Ivorra Lógica2 y estoy perdido en la pag. 123 donde se construye un modelo dado un conjunto maximalmente consistente y ejemplificado.
¿No faltaría comprobar que toda fórmula, dada una valoración, es verdadera o falsa en tal estructura, y no puede ser las dos a la vez, para saber si es un modelo? ¿O comprobar algo parecido?

Pero es inmediato que toda fórmula, dada una valoración, es satisfecha o no en un modelo dado. Si se cumple la definición de satisfacción, es satisfecha, y si no se cumple, no es satisfecha. ¿Qué consideras que falta demostrar? ¿Cómo va a ser satisfecha y no serlo a la vez? Si es satisfecha, ya no es cierto que no sea satisfecha.

Estoy pensando que quizá, ello un colorario de la definición de modelo: que toda relación lleva a un valor de verdad del modelo.

No sé qué significa exactamente esa frase. ¿A qué te refieres con "toda relación"? ¿Qué es un valor de verdad en un modelo? Si tienes una fórmula y un modelo bien definido, es decir, un modelo que a cada signo del lenguaje le asigna un objeto, una relación o una función bien definidos, entonces cada valoración asocia una relación bien definida a cada fórmula, en el sentido de que está unívocamente determinado qué significa que la fórmula sea satisfecha o no en el modelo respecto de la valoración.

Dado que algo te confunde, convendría que distinguieras bien los conceptos de "verdad" y "satisfacción". Una fórmula es verdadera en un modelo cuando es satisfecha por todas las valoraciones.

No sé exactamente qué es lo que consideras que "puede fallar ahí".

Por lo tanto, quizá lo que no había comprendido es que de verdad es una relación, es decir, que lleva asociado un valor de verdad (la relación construida en la demostración). Y esto se da porque el conjunto de fórmulas es maximalmente consistente.

Me pierdo. Una relación n-ádica en una colección de objetos (intuitivamente determinada) es cualquier criterio que dé pleno sentido a cualquier afirmación de tipo "estos n objetos de la colección, en este orden, satisfacen la relación", de modo que esto se cumpla o no se cumpla objetiva e inequívocamente. Pero eso no tiene nada que ver con ningún conjunto de fórmulas maximalmente consistente.

No sabría aclararte más tu duda porque no acabo de entender en qué consiste. Si la desarrollas más, a lo mejor detecto dónde está la confusión.

25 Mayo, 2017, 12:44 pm
Respuesta #2

alexpglez

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Quizá no me estoy explicando bien.
Estoy pensando que quizá, ello un colorario de la definición de modelo: que toda relación lleva a un valor de verdad del modelo.

No sé qué significa exactamente esa frase. ¿A qué te refieres con "toda relación"? ¿Qué es un valor de verdad en un modelo? Si tienes una fórmula y un modelo bien definido, es decir, un modelo que a cada signo del lenguaje le asigna un objeto, una relación o una función bien definidos, entonces cada valoración asocia una relación bien definida a cada fórmula, en el sentido de que está unívocamente determinado qué significa que la fórmula sea satisfecha o no en el modelo respecto de la valoración.
Cito del capítulo 1, lenguajes formales y modelos:
Citar
Relaciones Si M es un conjunto arbitrario y n es un número natural no
nulo, una relación n-ádica R en M es cualquier criterio bien definido que asigne
un valor de verdad (verdadero o falso) a cada n objetos de M (con posibles
repeticiones) en un orden dado. Escribiremos [texx] R(a_1 , . . . , a_n ) [/texx] para indicar que la
relación R es verdadera sobre los n objetos de M indicados.
A esto me refería con valor de verdad.

A comprobar que realmente que lo definido aquí es una relación:
Citar
Si [texx] R_i^n [/texx] es un relator n-ádico de L, entonces [texx] M (R_i^n ) [/texx] es la relación n-ádica
dada por  [texx] M (R_i^n )([t_1 ], . . . , [t_n ]) [/texx] syss [texx] R_i^n t_1 · · · t_n [/texx] está en [texx] \Gamma [/texx].
Una vez demostrado que no depende de los representantes elegidos para los objetos. Creo yo que habría que usar que [texx] \Gamma [/texx] es maximalmente consistente para probar que es una relación. Dados unos objetos cualesquiera, la relación es verdadera o falsa y no las dos a la vez, es decir que "lleva" los objetos a un valor de verdad (en vocabulario conjuntista si se quiere, que es una aplicación de los conjuntos de n-túplas de objetos de [texx] U [/texx] al conjunto [texx] \{V,F\} [/texx]).

25 Mayo, 2017, 12:54 pm
Respuesta #3

Carlos Ivorra

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Quizá no me estoy explicando bien.
Estoy pensando que quizá, ello un colorario de la definición de modelo: que toda relación lleva a un valor de verdad del modelo.

No sé qué significa exactamente esa frase. ¿A qué te refieres con "toda relación"? ¿Qué es un valor de verdad en un modelo? Si tienes una fórmula y un modelo bien definido, es decir, un modelo que a cada signo del lenguaje le asigna un objeto, una relación o una función bien definidos, entonces cada valoración asocia una relación bien definida a cada fórmula, en el sentido de que está unívocamente determinado qué significa que la fórmula sea satisfecha o no en el modelo respecto de la valoración.
Cito del capítulo 1, lenguajes formales y modelos:
Citar
Relaciones Si M es un conjunto arbitrario y n es un número natural no
nulo, una relación n-ádica R en M es cualquier criterio bien definido que asigne
un valor de verdad (verdadero o falso) a cada n objetos de M (con posibles
repeticiones) en un orden dado. Escribiremos [texx] R(a_1 , . . . , a_n ) [/texx] para indicar que la
relación R es verdadera sobre los n objetos de M indicados.
A esto me refería con valor de verdad.

Sí, eso es lo mismo que te ponía en mi mensaje anterior. Creo que me confundía el no saber si me hablabas de conceptos generales sobre lo que es una relación o con cuestiones concretas sobre la demostración del teorema de completitud. Lo que sigue ya es mucho más concreto (o, por lo menos, con ello ya me he orientado):

A comprobar que realmente que lo definido aquí es una relación:
Citar
Si [texx] R_i^n [/texx] es un relator n-ádico de L, entonces [texx] M (R_i^n ) [/texx] es la relación n-ádica
dada por  [texx] M (R_i^n )([t_1 ], . . . , [t_n ]) [/texx] syss [texx] R_i^n t_1 · · · t_n [/texx] está en [texx] \Gamma [/texx].
Una vez demostrado que no depende de los representantes elegidos para los objetos. Creo yo que habría que usar que [texx] \Gamma [/texx] es maximalmente consistente para probar que es una relación. Dados unos objetos cualesquiera, la relación es verdadera o falsa y no las dos a la vez, es decir que "lleva" los objetos a un valor de verdad (en vocabulario conjuntista si se quiere, que es una aplicación de los conjuntos de n-túplas de objetos de [texx] U [/texx] al conjunto [texx] \{V,F\} [/texx]).

Si \( \Gamma \) es cualquier colección de fórmulas bien definida, da igual que sea maximalmente consistente o que no, está bien definida la relación n-ádica sobre los términos del lenguaje formal dada por

[texx] M (R_i^n )(t_1 , . . . , t_n ) [/texx] syss [texx] R_i^n t_1 · · · t_n [/texx] está en [texx] \Gamma [/texx].

(Observa que he quitado los corchetes.) Es inmediato que la fórmula indicada está en [texx] \Gamma [/texx] o no está en [texx] \Gamma [/texx]. Si no fuera así, significaría que [texx] \Gamma [/texx] no estaría bien definida.

¿Estás de acuerdo con esto o crees que hay algo que objetar ahí?

Si estás de acuerdo con esto, lo que falta en la demostración es justificar que esta relación sobre la colección de los términos del lenguaje induce otra sobre las clases de equivalencia, es decir, que la relación definida con corchetes no depende de la elección de los representantes, y ahí es donde interviene que [texx] \Gamma [/texx] sea maximalmente consistente.

Pero como dices "Una vez demostrado que no depende de los representantes elegidos para los objetos", entiendo que en este punto no ves objeción alguna, es decir, que tienes claro que la consistencia maximal de [texx] \Gamma [/texx] implica que la definición no depende de los representantes. Pero entonces, ¿qué consideras que falta?

25 Mayo, 2017, 01:55 pm
Respuesta #4

alexpglez

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Si \( \Gamma \) es cualquier colección de fórmulas bien definida, da igual que sea maximalmente consistente o que no, está bien definida la relación n-ádica sobre los términos del lenguaje formal dada por

[texx] M (R_i^n )(t_1 , . . . , t_n ) [/texx] syss [texx] R_i^n t_1 · · · t_n [/texx] está en [texx] \Gamma [/texx].

(Observa que he quitado los corchetes.) Es inmediato que la fórmula indicada está en [texx] \Gamma [/texx] o no está en [texx] \Gamma [/texx]. Si no fuera así, significaría que [texx] \Gamma [/texx] no estaría bien definida.

¿Estás de acuerdo con esto o crees que hay algo que objetar ahí?
¿qué consideras que falta?

Disculpa, iba a poner una responder pero ya veo el fallo. Lingüísticamente (que es obvio que se puede formalizar fácilmente en teoría de conjuntos), tal fórmula está o no está en [texx] \Gamma [/texx] y eso está bien definido siempre (que [texx] \Gamma [/texx] sea un conjunto de fórmulas claro). Supongo que estaba "leyendo mal" (acostumbro hacerlo) y leía o interpretaba [texx] \Gamma \vdash R_i^n t_1...t_n [/texx] en vez de estar en el conjunto de fórmulas. Entonces de aquí concluimos que realmente lo definido en la demostración son relaciones.

Había cosas que me seguían escamando, suponer que [texx] \Gamma [/texx] no es consistente, pero es que entonces hay teoremas previos que no se pueden usar.

Gracias, saludos