Hola rancel
Bienvenido al foro.
La curva la podemos poner como : \( \vec{r(t)}=(3t,3t^2,2t^3) \), observamos que \( \vec{r(0)}=(0,0,0) \) y \( \vec{r(1)}=(3,3,2) \), entonces el arco de curva es la gráfica de la función vectorial \( \vec{r(t)} \) cuando \( t\in{[0,1]} \)
La longitud ds de un elemento diferencial asociado a un t génerico, se lo obtiene de la derivada de la función \( \vec{r(t)} \), de la siguiente manera :
\( \frac{d\vec{r(t)}}{dt}=(3,6t,6t^2)\Rightarrow{ds=\left |{\frac{d\vec{r(t)}}{dt}} \ dt\right |}\Rightarrow{ds=\sqrt[ ]{3^2+(6t)^2+(6t^2)^2}} \ \ dt \)
Desarrollando : \( ds=\sqrt[ ]{9+36t^2+36t^4}\ dt=6\sqrt[ ]{t^4+t^2+\displaystyle\frac{1}{4}}\ dt=6\sqrt[ ]{(t^2+\displaystyle\frac{1}{2})^2}\ dt \)
La longitud de todo el arco sera :\( s=\displaystyle\int_{0}^{1} \ ds=\displaystyle\int_{0}^{1} \ 6 \ (t^2+\displaystyle\frac{1}{2}) \ dt \)
Hallas el integral y ya está.
Saludos
Nota : Es conveniente para ayudar a resolver un problema, que muestres el avance que has realizado.
