[Ankrus]

Buenos días compañeros, tengo una duda bastante importante y se basa en que, debido al temario que estoy dando, al operar tengo integrales dobles con 7-10 términos. Nuestros profesores nos insisten en que tenemos que saber eliminarlos para que estas integrales se queden en 2-3 términos.

El caso es que integrales estilo, seno en intervalo simétrico y así, veo directamente que son 0, pero...

i) La integral \( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}sin(t)(2 + cos(t))^2dt \) también es \( 0 \), ¿po rqué?

ii) La integral \( \displaystyle\int_{0}^{2\pi}sin(t)cos(t)dt \)  también, ¿por qué?

Lo que necesito es una explicación lógica para saber cuando una integral de este estilo será 0, porque viendo la primitiva sé que es 0, la cosa es no tener ni que hallarla...

Saludos.

[EnRlquE]

Hola Ankrus.

 Si tenemos una función \( f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} \) tal que \( f(x+T)=f(x) \) para todo \( x\in\mathbb{R}, \) es decir \( f \) tiene como periodo a \( T \) (no necesariamente el menor periodo), se cumple que \( \int_{0}^{T}f(t)\,dt=\int_{a}^{a+T}f(t)\,dt \) para todo \( a\in\mathbb{R}. \) Por otro lado, para toda función \( g \) impar se cumple que \( \int_{-b}^{b}g(t)\,dt=0 \) para todo intervalo \( (-b,b) \) contenido en el dominio de \( g. \)

 En los casos que presentas ambas funciones tienen como periodo a \( T=2\pi \) y además son impares, entonces para estos casos podemos hacer \( \int_{0}^{2\pi}f(t)\,dt=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt=0. \)

 Seria bueno que trataras de probar las propiedades que menciono en el primer párrafo de este mensaje. Si tienes alguna dificultad, pregunta.

Saludos,

Enrique.

P.S. Recuerda que en el foro hay que usar \( \LaTeX \) para escribir las expresiones matemáticas. Sería bueno que leyeras el tutorial y en el futuro escribas tus mensajes de acuerdo con las reglas del foro.