[mazuro]

Buen día

Se ha hablado de la densidad de los números racionales en los reales:

Si \( x \) y \( y \) son números reales cualesquiera con \( x<y \), entonces existe un número racional  \( r\in{\mathbb{Q}} \) tal que \( x<r<y \).

Mi pregunta es si puedo hablar de la densidad de los números decimales en los racionales?    Teniendo en cuenta que los números decimales son aquellos que se expresan como fracciones decimales, o si \( \sim{} \) es una relación de equivalencia, se puede decir que el conjunto \( \mathbb{D} \) de los números decimales es el conjunto de las clases que la relación de equivalencia  \( \sim{} \) determina en \( \mathbb{Z} \)X\( \mathbb{N} \)

\( \mathbb{D}=\mathbb{N} \)X\( \mathbb{Z}/\sim{}= \){\( [(n,z)] n\in{\mathbb{N}} \) y \( z\in{\mathbb{Z}} \)}


El conjunto \( \mathbb{D} \) está ordenado por la relación:

\( (a,n)\leq{(b,p)}=a.10^{p}\leq{b.10^{n}} \)


Yo creo que sí, puedo encontrar un número decimal entre dos racionales...

Si se puede, cómo sería la propiedad?

Sería:

Si \( x \) y \( y \) son números racionales cualesquiera con \( x<y \), entonces existe un número decimal

\( r\in{\mathbb{D}} \) tal que \( x<r<y \).

y si es así... cómo podría proceder con la demostración de esta propiedad?   

Muchas gracias, saludos.

[Ian Bounos]

Hola

Yo por lo general llamo números decimales a \(  \mathbb{R}-\mathbb{Z}  \).
No termino de entender a qué te referís con ellos.

o si \( \sim{} \) es una relación de equivalencia, se puede decir que el conjunto \( \mathbb{D} \) de los números decimales es el conjunto de las clases que la relación de equivalencia  \( \sim{} \) determina en \( \mathbb{Z} \)X\( \mathbb{N} \)

\( \mathbb{D}=\mathbb{N} \)X\( \mathbb{Z}/\sim{}= \){\( [(n,z)] n\in{\mathbb{N}} \) y \( z\in{\mathbb{Z}} \)}

Creo que esto está mal definido, porque ese \(  \mathbb{D}  \), si es un conjunto de clases de equivalencia de una relación de equivalencia definida en \( \mathbb{Z} \)X\( \mathbb{N} \), no tiene, en principio, nada que ver con los reales ni con los racionales. Por otro lado, tampoco se a qué relación de equivalencia te referís con \(  \sim{}  \)

Tratando de adivinar, creo que lo que estás tratando de llamar  \(  \mathbb{D}  \) es el conjunto de los números de la forma \(  n 10^z  \) con n natural y z entero.

saludos

[delmar]

Hola

¿Se trata de encontrar un número decimal exacto entre 2 racionales ? Siempre existe incluso entre dos números reales. En caso de respuesta afirmativa respecto a la pregunta, una guía :

Se puede partir de la parte entera de x, denominándola, n se darían tres situaciones :

a) \( n\leq{x}<y<n+1 \)

b) \( n\leq{x}<y=n+1 \)

c) \( n\leq{x}<n+1<y \)

Para las tres situaciones se puede encontrar un número decimal exacto, entre x ey, en donde n es pues la parte entera del número decimal.

Para las tres situaciones, la idea es generar una partición del intervalo \( [n,n+1] \), para ello se considera que  \( \exists{k\in{Z_0^+}} \ / \ \displaystyle\frac{1}{10^k}<y-x \), esto se puede demostrar.

Los puntos de la partición serán : \( a_i=n+\displaystyle\frac{i}{10^k}, \ \ i=0,1,2,...10^k \), la partición es \( n=a_0<a_1<a_2...<a_{10^{k}-1}<a_{10^k}=n+1 \), donde todos los puntos intermedios son decimales exactos.

Consideración a)

Hay dos posibilidades :

1) \( n=x<y<n+1 \)

Obviamente \( x<n+\displaystyle\frac{1}{10^k}<y \)

Por lo tanto \( r=n+\displaystyle\frac{1}{10^k} \)

2) \( n<x<y<n+1 \)

    Si \( M=\left\{{a_i>x, \ \ i=0,1,2,...,10^k}\right\} \)

    M es un conjunto finito y por ende presenta un mínimo \( a_j \)

    Hay que demostrar que \( a_j<y \). Por reducción al absurdo supongamos que \( a_j\geq{y} \)

    Se tiene \( y-x>\displaystyle\frac{1}{10^k} \)

    Sumando las inecuaciones se tiene : \( a_j+y-x>y+\displaystyle\frac{1}{10^k}\Rightarrow{a_{j-1}>x} \) Absurdo \( a_{j-1} \) sería un elemento de M, menor que el mínimo \( a_j \)

    Por lo tanto : \( x<a_j<y \) y \( r=a_j=n+\displaystyle\frac{j}{10^k} \)

    De forma semejante se demostraría para las otras alternativas.

    Saludos

[mazuro]

Hola

Ian Bounos

Perdón omití detalles

Se dice que una forma de construir los números decimales consiste en encontrar las soluciones a la ecuación: \( 10^{n}x=a \), con  \( a \) un \( \mathbb{Z} \) y \( n \) un \( \mathbb{N} \). Se dice que para lograrlo se define en \( Z \)X\( N \) la relación de equivalencia:

\( (a,n)\sim{(b,p)}\equiv{a.10^{p}=b.10^{n}} \)

La clase del par \( (a,n) \) se escribe \( [a/10^{n}] \) y es el conjunto de fracciones equivalentes a la fracción \( a/10^{n} \), que llamamos número decimal (exacto).


delmar

Intentaré hacer la demostración, muchas gracias.


Muchas gracias, saludos.