[arm]

Hola, ¿me podéis ayudar? Necesito resolver estas dos ecuaciones,
$$  \left \{ \begin{matrix} u''(x) - \frac{1}{2} u'(x) = x \mbox{, } x \in (0, 1) \\
u(0) = u(1) = 0 \end{matrix}\right.$$

$$  \left \{ \begin{matrix} u''(x) +2 u'(x)+u(x) = x \mbox{, } x \in (0, 1) \\
u(0) = u(1) = 0 \end{matrix}\right.$$

Gracias

[ingmarov]

Hola arm

Ambas son lineales y son fáciles de resolver, te ayudo con la primera y resuelves la segunda siguiendo un proceso similar.

Planteamos el polinomio característico

\( m^2-\dfrac{1}{2}m=0 \)   cuyas raíces son: 0 y 1/2.

Entonces la solución homogénea es: \( u_h=c_1+c_2e^{x/2} \)


Para la solución particular usamos coeficientes indeterminados, entonces

\( u_p=Ax^2+Bx+c_3 \)    derivamos

\( u_p'=2Ax+B \)

\( u_p''=2A \)

Sustituimos en la ecuación diferencial

\( 2A-1/2(2Ax+B)=-Ax+2A-B/2=x \)

Entonces A=-1,  B=-4


La solución completa es \( u(x)=c_2e^{x/2}-x^2-4x+C \)    (C=c_1+c_3)


Evaluando nas condiciones iniciales (no nos dan la condición de la primera derivada  ) nos resulta el sistema:

\( \begin{cases} C+c_2=0\\C+c_2e^{x/2}=5\end{cases} \)

Resuelve el sistema para encontrar las incógnitas y ya tienes la solución.

Saludos

[arm]

Vale, entonces en la segunda ecuación, la solución homogénea me sale una solución doble, ¿quedaría así? Siendo m=-1 (doble) $$u_h=c_1 e^{-1}+c_2 e^{-x}$$

[ingmarov]

Vale, entonces en la segunda ecuación, la solución homogénea me sale una solución doble, ¿quedaría así? Siendo m=-1 (doble) $$u_h=c_1 e^{-1}+c_2 e^{-x}$$

Si tiene raíz doble debes multiplicar uno de los términos por x (estudia soluciones linealmente independientes), así,

\( u_h=c_1\; e^{-x}+c_2\; xe^{-x} \)


Para la solución particular puedes considerar,

\( u_p=Ax+B \)

Saludos

[arm]

Gracias