[pramirez]

Hola de nuevo,

¿como están?, vengo con una nueva consulta. Resulta que me dieron a resolver el siguiente problema: Encontrar el área de la región limitada por las curvas \( y=2x^2+2x-6 \) e \( y=3x-5 \).

La consulta es si mi desarrollo es el correcto, el resultado final no convence de ser el correcto. Si alguno lo puedo revisar agradecido. 

Hallo los límites de integración igualando funciones:

\( 2x^2+2x-6=3x-5 \)

\( 2x^2+2x-6-3x+5=0 \)

\( 2x^2-x-1=0 \)

El resultado de averiguar \( x_1 \) y \( x_2 \) es: \( x_1=1 \) y \( x_2=-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Aplicamos integral definida para calcular el área:

\( \displaystyle\int_{-a}^{b} f(x)-g(x)\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}3x-5-2x^2-2x+6\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}-2x^2+x+1\, dx= -2+1+1-(-\displaystyle\frac{2}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}+1)=-2+1+1+\displaystyle\frac{2}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}-1=0 \)

[sugata]

No he hecho la gráfica para ver como se comporta, pero la parábola en \( x=0 \) es negativa, de ahí que te salga 0.
En las partes negativas tienes que usar el valor absoluto.

[ingmarov]

...
\( \displaystyle\int_{-a}^{b} f(x)-g(x)\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}3x-5-2x^2-2x+6\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}-2x^2+x+1\, dx= -2+1+1-(-\displaystyle\frac{2}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}+1)=-2+1+1+\displaystyle\frac{2}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}-1=0 \)

Te faltó integrar (no calculaste la primitiva). Es en la primitiva donde evalúas los límites de integración.

[pramirez]

...
\( \displaystyle\int_{-a}^{b} f(x)-g(x)\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}3x-5-2x^2-2x+6\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}-2x^2+x+1\, dx= -2+1+1-(-\displaystyle\frac{2}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}+1)=-2+1+1+\displaystyle\frac{2}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}-1=0 \)

Te faltó integrar (no calculaste la primitiva). Es en la primitiva donde evalúas los límites de integración.

Tenés razón que error grosero, reste ambas funciones entre sí pero nunca las integre.... Ahora lo corrijo

[pramirez]

...
\( \displaystyle\int_{-a}^{b} f(x)-g(x)\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}3x-5-2x^2-2x+6\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}-2x^2+x+1\, dx= -2+1+1-(-\displaystyle\frac{2}{4}-\displaystyle\frac{1}{2}+1)=-2+1+1+\displaystyle\frac{2}{4}+\displaystyle\frac{1}{2}-1=0 \)

Te faltó integrar (no calculaste la primitiva). Es en la primitiva donde evalúas los límites de integración.

Ahora integre la parte que no había integrado y corregí los cálculos. Ahora faltaría saber que esta correcto que me imaginó que sí pero si alguien lo puede confirmar.

\( \displaystyle\int_{-a}^{b} f(x)-g(x)\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}3x-5-2x^2-2x+6\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}-2x^2+x+1\, dx= -\displaystyle\frac{2}{3}x^3+\displaystyle\frac{x^2}{2}+x=-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}+1-(-\displaystyle\frac{1}{12}+\displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{2})=-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}+1+\displaystyle\frac{1}{12}-\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{2}=\displaystyle\frac{31}{24} \)

[mathtruco]

Correcto salvo un detalle en una cuenta.

\( \displaystyle\int_{-a}^{b} f(x)-g(x)\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}3x-5-2x^2-2x+6\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}-2x^2+x+1\, dx= -\displaystyle\frac{2}{3}x^3+\displaystyle\frac{x^2}{2}+x=-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}+1-({\color{red}+}\displaystyle\frac{1}{12}+\displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{2})=-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}+1+\displaystyle\frac{{\color{red}-}1}{12}-\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}\dfrac{9}{8} \)

[pramirez]

Correcto salvo un detalle en una cuenta.

\( \displaystyle\int_{-a}^{b} f(x)-g(x)\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}3x-5-2x^2-2x+6\, dx=\displaystyle\int_{-1/2}^{1}-2x^2+x+1\, dx= -\displaystyle\frac{2}{3}x^3+\displaystyle\frac{x^2}{2}+x=-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}+1-({\color{red}+}\displaystyle\frac{1}{12}+\displaystyle\frac{1}{8}-\displaystyle\frac{1}{2})=-\displaystyle\frac{2}{3}+\displaystyle\frac{1}{2}+1+\displaystyle\frac{{\color{red}-}1}{12}-\displaystyle\frac{1}{8}+\displaystyle\frac{1}{2}=\color{red}\dfrac{9}{8} \)

Muchas gracias!!!