[Tholmor]

Hola

Soy nuevo en el foro y estoy en cursando primer semestre de estadística en la Universidad nacional de Colombia, hice la primera demostración de esta forma pero no se si esta bien y tampoco se como iniciar la segunda.
Demuestre que si multiplicamos todos los valores de una variable por k, la media y la desviación típica quedarán multiplicadas también por k (k>0).

Sea \( x_{1}...x_{n} \) valores de x
   y sea \( k\in{\mathbb{}} \), \( k>0 \)
   \( z_{i} = kx_i \)
   
   \( \bar{z}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{z_{i}}}{n} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{kx_{i}}}{n} = k\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n}
\)
   
   \( S_{z}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(z_{i}-\bar{z})^2}}{n}} = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(kx_{i}-k\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n})^2}}{n}} = \sqrt[ ]{k^{2}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n})^2}}{n}} \) \\
   
   k\( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n})^2}}{n}} \)

Demustre que si construimos una variable x mezclando \( n_{1} \) valores de de x y \( n_{2} \) de Y, la media de z es:

\( \bar{z} = \displaystyle\frac{n_{1}}{n_{1}+n_{2}} \bar{x} + \displaystyle\frac{n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \bar{y} \)

siendo \( \bar{x} \),\( \bar{y} \) las medias de las variables iniciales.

[Luis Fuentes]

Hola

 Bienvenido al foro.

Hola

Soy nuevo en el foro y estoy en cursando primer semestre de estadística en la Universidad nacional de Colombia, hice la primera demostración de esta forma pero no se si esta bien y tampoco se como iniciar la segunda.
Demuestre que si multiplicamos todos los valores de una variable por k, la media y la desviación típica quedarán multiplicadas también por k (k>0).

Sea \( x_{1}...x_{n} \) valores de x
   y sea \( k\in{\mathbb{}} \), \( k>0 \)
   \( z_{i} = kx_i \)
   
   \( \bar{z}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{z_{i}}}{n} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{kx_{i}}}{n} = k\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n}
\)
   
   \( S_{z}=\sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(z_{i}-\bar{z})^2}}{n}} = \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(kx_{i}-k\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n})^2}}{n}} = \sqrt[ ]{k^{2}\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n})^2}}{n}} \) \\
   
   k\( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{(x_{i}-\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^n{x_{i}}}{n})^2}}{n}} \)

Está bien.

Demustre que si construimos una variable x mezclando \( n_{1} \) valores de de x y \( n_{2} \) de Y, la media de z es:

\( \bar{z} = \displaystyle\frac{n_{1}}{n_{1}+n_{2}} \bar{x} + \displaystyle\frac{n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \bar{y} \)

siendo \( \bar{x} \),\( \bar{y} \) las medias de las variables iniciales.

Me parece un tanto confuso el enunciado.

Entiendo que tienes dos variables aletorias \( X \) e \( Y \). Tomas una muestra de \( n_1 \) elementos de \( X \) y n_2 elementos de \( Y \). Quieres calcular la esperanza de la media muestral.

La media muestral es la variable:

\( M=\dfrac{1}{n_1+n_2}(X_1+X_2+\ldots+X_{n_2}+Y_1+T_2+\ldots+Y_{n_2}) \)   (*)

Cada variable \( X_i \) tiene la misma distribución que \( X \) y por tanto la misma media; lo análogo con las \( Y_i \) y la variable \( Y \).

Por tanto basta aplicar la linealidad de la esperanza en (*).

Saludos.

[Tholmor]

Gracias por la ayuda el_manco

No entiendo muy bien como se usa la esperanza pues aun no he empezado los cursos de calculo, ¿es posible demostrarlo sin recurrir al concepto de esperanza?

[Luis Fuentes]

Hola

No entiendo muy bien como se usa la esperanza pues aun no he empezado los cursos de calculo, ¿es posible demostrarlo sin recurrir al concepto de esperanza?

La esperanza no es otra cosa que la media; pero si todavía estas dando la teoría elemental donde realmente sólo calculáis la media de un conjunto de datos, no estoy muy seguro de como probarlo básicamente. Porque en ese contexto no veo como formular correctamente el enunciado del problema (por eso te dije que el enunciado me parecía algo confuso).

¿Podrías hacerme un resumen o darme una referencia donde ver exactamente qué teoría has estudiado?.

Saludos.

[Tholmor]

A lo largo del semestre he visto medidas de dispersión y centro, funciones de densidad kernel, medidas para datos agrupados, relación lineal por mínimos cuadrados, medidas resistentes, linea resistente y pulimento de medianas. La esperanza o media poblacional solo se tuvo en cuenta dentro de las medidas de centro pero no se vieron sus propiedades.

Gracias

[Luis Fuentes]

Hola

A lo largo del semestre he visto medidas de dispersión y centro, funciones de densidad kernel, medidas para datos agrupados, relación lineal por mínimos cuadrados, medidas resistentes, linea resistente y pulimento de medianas. La esperanza o media poblacional solo se tuvo en cuenta dentro de las medidas de centro pero no se vieron sus propiedades.

¿Te han definido la esperanza de una variable aleatoria o solo te han definido la esperanza de una muestra?.

Si te han definido la esperanza de una variable (bien sea para variables discretas y continuas; bien sea con una definición general usando teoría de la medida) es inmediato comprobar su linealidad y de ahí resolver el ejercicio como te indiqué.

Si sólo te han definido esperanzas de muestras, podría reformularse el enunciado así.

Dada una muestra \( \{x_1,\ldots,x_{n_1}\} \) de media \( \bar x \) y una muestra \( y_1,\ldots,y_{n_2} \) de media \( \bar y \) y probar que la muestra conjunta \( \{x_1,\ldots,x_{n_1},y_1,\ldots,y_{n_2}\} \) es:

\( \dfrac{n_1\bar x+n_2\bar y}{n_1+n_2} \)

Esto es inmediato de demostrar usando la fórmula de la media de una muestra.

Saludos.

[Tholmor]

Gracias el_manco pero ya hice la demostración y se resolvería de la siguiente manera:


Sea \( x_{1}...x_{n} \) valores de X y sea \( x_{1}...x_{n} \) valores de Y se tiene que:
 \( z_i = x_i + y_i \)

\( \bar{z} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum{z_i}}{n_1 + n_2} \)

   
   \( \bar{z}=\displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n_1}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n_2}{x_i + y_i}}}{n_1 + n_2} \)
 
   \( \displaystyle\sum_{i=1}^{n_2}{x_i}\displaystyle\frac{1}{n_1 + n_2}+\displaystyle\sum_{i=1}^{n_2}{y_i} \displaystyle\frac{1}{n_1 + n_2} \)

   \( \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n_1}{x_i}}{n_1} \displaystyle\frac{n_1}{n_1 + n_2} + \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n_2}{y_i}}{n_2} \displaystyle\frac{n_2}{n_1 + n_2} \)
   
   [texx]\bar{z} = \displaystyle\frac{n_{1}}{n_{1}+n_{2}} \bar{x} + \displaystyle\frac{n_{2}}{n_{1}+n_{2}} \bar{y}[/texx]

[Luis Fuentes]

Hola

Pero no está bien.

Sea \( x_{1}...x_{n} \) valores de X y sea \( x_{1}...x_{n} \) valores de Y se tiene que:
 \( z_i = x_i + y_i \)

¿Por qué sumas los valores de \( X  \)con los de \( Y \)?. Si tienes \( v_1 \) valores de \( X \) y \( n_2 \) valores de \( Y \), ¿hasta donde llega ese índice i de tu suma?. Por ejemplo si \( n_1=1 \) y \( n_2=10 \), no podrías tener \( z_2=x_2+y_2 \) porque \( x_2 \) no existe.

Saludos.

[Tholmor]

Pues si \( x_2 \) no existe entonces \( z_2 = y_2 \), aunque no estoy muy seguro lo confirme con el tutor de la materia y si se resolvería de esta forma.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Pues si \( x_2 \) no existe entonces \( z_2 = y_2 \), aunque no estoy muy seguro lo confirme con el tutor de la materia y si se resolvería de esta forma.

La forma correcta es, dada una muestra \( \{x_1,x_2,\ldots,x_{n_1}\} \) de la variable \( X \) y otra \(  \{y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\} \) de la variable \( Y \) tomar la muestra conjunta:

\( \{x_1,x_2,\ldots,x_{n_1},y_1,y_2,\ldots,y_{n_2}\} \)

La media de esta última es por definición:

\( \bar z=\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_{n_1}+y_1+y_2+\ldots+y_{n_2}}{n_1+n_2} \) (*)

Pero por otra parte para la primera muestra su media es:

\( \bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\ldots+x_{n_1}}{n_1} \) de donde \( x_1+x_2+\ldots+x_{n_1}=n_1\bar x \)

y para la segunda:

\( \bar{y}=\dfrac{y_1+y_2+\ldots+y_{n_2}}{n_2} \) de donde \( y_1+y_2+\ldots+y_{n_2}=n_2\bar y \)

Susituyendo en (*) queda:

\( \bar z=\dfrac{n_1\bar x+n_2\bar y}{n_1+n_2} \)

Saludos.