Hola cristianoceli.
Sea \( |\displaystyle\frac{1}{3x} | <1 \)
Esto no me convence. Está bien que \( x \) está cerca de \( 3 \), pero llegar y decir que por eso esa desigualdad es válida no me parece limpio.
Te explico cómo lo habría hecho.
\( \left|\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{3}\right|=\dfrac{|x-3|}{|3x|} \).
Tenemos control sobre \( |x-3| \) porque lo queremos menor que delta. Lo que nos molesta es el \( \dfrac{1}{|3x|} \).
Si \( \delta=1 \) tenemos
\( |x-3|<1 \)
\( -1<x-3<1 \)
\( 2<x<4 \)
\( \dfrac{1}{4}<\dfrac{1}{x}<\dfrac{1}{2} \)
\( \dfrac{1}{12}<\dfrac{1}{3x}<\dfrac{1}{6} \)
Con esto,
\( \dfrac{|x-3|}{|3x|}<\dfrac{1}{6}\delta \) "=" \( \epsilon \)
Elegimos entonces \( \delta=\min\{1,6\epsilon\} \).
Lo que normalmente no verificamos,
¿por qué esto funciona?- Si \( 6\epsilon>1 \), esto es \( \epsilon>1/6 \), entonces \( \delta=\min\{1,6\epsilon\}=1 \). Luego
\( =\dfrac{|x-3|}{|3x|}<\dfrac{1}{6}\cdot 1<\epsilon \).
- Si \( 6\epsilon<1 \), esto es \( \epsilon<1/6 \), entonces \( \delta=\min\{1,6\epsilon\}=6\epsilon \). Luego
\( =\dfrac{|x-3|}{|3x|}<\dfrac{6\epsilon}{6}\cdot 1=\epsilon \).
