Hola a todos,
regreso de nuevo pidiendo ayuda para resolver un ejercicio. Me dieron la siguiente integral a resolver y justificar el método utilizado:
\( \displaystyle\int{2x^2.\sqrt[ ]{x^3+5}dx} \).
Lo primero que hice convertir la raíz cuadrada a fracción y luego resolver la integral por sustitución. El problema que tengo es que al comprobar el resultado derivando, no logro obtener la función original. No se si estará mal mi desarrollo o el método utilizado. Si alguien me puede ayudar agradecido.
\( \displaystyle\int{2x^2.\sqrt[ ]{x^3+5}dx}=\displaystyle\int{2x^2.(x^3+5)^{1/2}dx}=\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle\int{u.^{1/2}du} = \displaystyle\frac{1}{3}.\displaystyle\frac{2}{3}u^{3/2} = \displaystyle\frac{2}{9}u^{3/2} = \displaystyle\frac{2}{9}(x^3+5)^{3/2} \)
Derivo para comprobar el resultado, utilizó la derivada de la multiplicación:
\( \displaystyle\frac{2}{9}(x^3+5)^{3/2} =\displaystyle\frac{2}{9}.\displaystyle\frac{3}{2}(x^3+5)^{1/2}.3x^2=\displaystyle\frac{6}{18}(x^3+5)^{1/2}.3x^2=x^2(x^3+5)^{1/2} \)
Cálculos Auxiliares:
\( u=x^3+5 \)
\( \displaystyle\frac{du}{dx}=3x^2 \)
\( \displaystyle\frac{du}{3}=x^2.dx \)
