Autor Tema: Resolución ecuación funcional

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

10 Mayo, 2017, 01:17 pm
Leído 2348 veces

adogi.clx

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

Soy físico, no matemático, y estoy estudiando un problema algo viejo pero interesante y bastante conocido, que es el espectro radiativo del cuerpo negro. Pues bien, llega un momento que aplicando principios básicos de la termodinámica, llego a una ecuación funcional para una función real de variable real y continua (de dos variables). Es la siguiente:

\(
f(\gamma, y) = \kappa f(\gamma, \kappa^{-1/3}y) \hspace{0.5cm} \forall \kappa \neq 0
 \)

Siendo \(  \gamma = \nu / y  \).  La solución a esta ecuación funcional con estos requisitos debe ser la fórmula de la Ley de Wien, es decir,

\(
f(\nu, y) = \nu^3 W(\nu / y).
 \)

siendo \(  W(\gamma)  \) cualquier función real de \(  \gamma  \). Como puedo solucionar esta ecuación funcional para llegar a la expresión de la Ley de Wien? Gracias!

10 Mayo, 2017, 04:15 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,042
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

 Bienvenido al foro.

Soy físico, no matemático, y estoy estudiando un problema algo viejo pero interesante y bastante conocido, que es el espectro radiativo del cuerpo negro. Pues bien, llega un momento que aplicando principios básicos de la termodinámica, llego a una ecuación funcional para una función real de variable real y continua (de dos variables). Es la siguiente:

\(
f(\gamma, y) = \kappa f(\gamma, \kappa^{-1/3}y) \hspace{0.5cm} \forall \kappa \neq 0
 \)

Siendo \(  \gamma = \nu / y  \).  La solución a esta ecuación funcional con estos requisitos debe ser la fórmula de la Ley de Wien, es decir,

\(
f(\nu, y) = \nu^3 W(\nu / y).
 \)

siendo \(  W(\gamma)  \) cualquier función real de \(  \gamma  \). Como puedo solucionar esta ecuación funcional para llegar a la expresión de la Ley de Wien? Gracias!

Hay algo ahí que no cuadra. Con la solución que das:

\( \kappa f(\gamma,\kappa^{-1/3}y)=\kappa \gamma^3W(\gamma\kappa^{1/3}/y) \)

distinto de:

\( f(\gamma,y)=\gamma^3W(\gamma/y) \)

Ten en cuenta que la ecuación funcional dada llamando \( \lambda=\color{red}\kappa^{-1/3}\color{black} \) puede escribirse así:

\( f(x,\lambda y)=\lambda^3f(x,y) \)

Entonces:

\( f(x,y)=f(x,y\cdot 1)=y^3f(x,1) \)

y así:

\( f(x,y)=y^3W(x) \)

donde \( W(x)=f(x,1) \).

Saludos.

CORREGIDO

10 Mayo, 2017, 05:53 pm
Respuesta #2

adogi.clx

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Gracias por la bienvenida! Y por la respuesta, aunque sigo sin verlo claro. Si algo no cuadra, tiene que ser la forma de expresar la solución; la ecuación funcional de partida es la que quiero solucionar, \(  f(\gamma, y)=\kappa f(\gamma,\kappa^{-1/3}y)  \).

Esta ecuación debe estar bien, ya que la obtengo de aplicar un principio muy básico (conservación de la entropía en una expansión adiabática). Aunque no sea necesario para resolver la ecuación, explico brevemente como llego a ella: la entropía de un cuerpo negro tiene que obedecer la expresión \(  S = (4/3)VKT^3  \), siendo K una constante, V el volumen del cuerpo negro y T su temperatura. Cualquier expansión o compresión adiabática de su volumen, \( V'=\kappa V \), tiene que dejar la entropía invariante, por lo que \(  VT^3 = V'T`^{3} \), lo cual implica que \( T'=\kappa^{-1/3}T  \). Además, si el volumen varía de la manera descrita, al ser un problema 3-dimensional las longitudes de onda de la radiación de su interior, al tener dimensiones de longitud, deben obedecer \(  \lambda ' = \kappa^{1/3} \lambda  \), y por tanto las frecuencias obedecen \(  \nu = \kappa^{-1/3} \nu  \), es decir, la misma expresión que la temperatura. Por ello, la cantidad \(  \gamma = \nu / T  \) es un invariante.

Pues bien. Un par de apuntes más para poder continuar: uno, que la relación entre la densidad de energía, \(  \rho(\nu, T) \) y la intensidad \( I(\nu, T) \) es la velocidad de la luz, es decir una constante, \(  I = \rho c  \), que en unidades naturales consideramos simplemente igual a 1; y dos, que la dependencia de la densidad de energía con la temperatura viene dada por \(  \rho = KT^{4}  \), que es la denominada ley de Stefan-Boltzamnn. Escribiendo explícitamente la entropía en ambos casos, tenemos las expresiones:

\(
S = \frac{4}{4}KVT^{3} = \frac{4}{3}  \frac{V \rho}{T}= \frac{4}{3} V \int_{0}^{\infty} \frac{d\nu}{T} I(\nu, T) = \frac{4}{3} V \int_{0}^{\infty} d\gamma I(\gamma, T)  .
 \)

\(
S = \frac{4}{3}KV'T'^{3}= \frac{4}{3} \kappa V \int_{0}^{\infty} d\gamma I(\gamma, \kappa^{-1/3}T) \)

Es por esto que comparando ambas expresiones de la entropía, se debe cumplir que

\(
I(\gamma, T) = \kappa I(\gamma, \kappa^{-1/3}T),
 \)
 
que es la ecuación funcional que quiero resolver y que me debería dar la ley de Wien, que establece que el espectro es proporcional siempre al cubo de la frecuencia de la radiación por una función arbitraria ("función de Wien") del invariante adiabático del problema, es decir,

\(
I(\nu, T) = \nu^3 W(\nu / T).
 \)

La ley de Wien es correcta y la termo usada también así que si me he colado en algo, tiene que ser en los cambios de variable de la expresión integral de la entropía. Recurro a matemáticos porque ya somos tres los colegas físicos que no vemos qué narices está pasando aquí... Siento la chapa de física asociada a estas matemáticas...  ;)

PD:@el_manco, al hacer el cambio \( \lambda = \kappa^{1/3} \), la ecuación se reescribiría (corrígeme si me equivoco) así:

\(
f(\gamma, y) = \lambda^{3} f(\gamma, \lambda^{-1}y).
 \)

Salu2.

11 Mayo, 2017, 10:09 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 47,042
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

PD:@el_manco, al hacer el cambio \( \lambda = \kappa^{1/3} \), la ecuación se reescribiría (corrígeme si me equivoco) así:

\(
f(\gamma, y) = \lambda^{3} f(\gamma, \lambda^{-1}y).
 \)

Si, perdona. Quise poner: \( \lambda = \color{red}\kappa^{-1/3}\color{black} \)

Por lo demás ya veo donde está el fallo.

En realidad cuando escribes la condición:

\( I(\gamma, T) = \kappa I(\gamma, \kappa^{-1/3}T) \)

y dices que su solución es:

\( I(\nu, T) = \nu^3 W(\nu / T). \)

Ahí hay un abuso de notación que es el que lleva a confusión. La segunda función tal como está escrita no cumple la primera condición. Pero eso es porque en realidad es una función distinta. La primera es la intensidad en función de \( \gamma \) y \( T \) y la segunda en función de \( \mu \) y \( T \); aunque en un abuso de notación se use la misma letra para denotarla, como función de \( \mathbb{R}^2 \) en \( \mathbb{R} \) no es la misma.

En realidad la segunda en función de la primera es \( I_2(\nu,T)=I(\nu/T,T) \) ya que \( \gamma=\nu/ T \).

Entonces rehago mi argumento respetando tu notación. De:

\( I(\gamma, T) = \kappa I(\gamma, \kappa^{-1/3}T) \)

haciendo \( \kappa^{-1/3}=\lambda \) equivale a:

\( I(\gamma,\lambda T)=\lambda^3 I(\gamma,T) \)

Por tanto:

\( I(\gamma,T)=I(\gamma,T\cdot 1)=T^3I(\gamma,1) \)

Entonces:

\( I_2(\nu,T)=I(\nu/T,T)=T^3I(\nu/T,1)=\nu^3\left(\dfrac{I(\nu/T,1))}{(\nu/T)^3}\right) \)

Basta tomar:

\( W(x)=\dfrac{I(x,1))}{x^3} \)

Saludos.

11 Mayo, 2017, 12:22 pm
Respuesta #4

adogi.clx

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 3
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola,

Al apuntar que la función intensidad dependiente del coeficiente adiabático \( \gamma \) y de la frecuencia \(  \) no son matemáticamente la misma función, me has solucionado definitivamente el problema  :aplauso:

Para un físico la intensidad es la intensidad la escribas en función de lo que la escribas, ya que el resultado/valor experimental de \( I \) es trivialmente el mismo... pero claro, entiendo que no es la misma función matemática. Al ser

\(
 I(\gamma, T) = T^{3} I(\gamma, 1) = \nu^3 \frac{I(\gamma, 1)}{\left( \nu / T \right)^{3}} = \nu^3 \frac{I(\gamma, 1)}{\gamma^{3}}  \equiv \nu^{3} W(\gamma) ,
 \)

entonces también \(  I(\nu, T) = \nu^{3} W(\nu) \), que escrita así en función de la frecuencia, \( \nu \), ya sí es la Ley de Wien. Visto así es realmente una tontería el problema!  :banghead:

La verdad que, por desgracia, es fuente de no pocas confusiones entre los físicos el no ser tan respetuosos como debiéramos con la notación...

Muchas gracias y saludos.