[cristianoceli]

Hola tengo problemas con esta demostración

Dado \( \epsilon \) encuentre el valor de \( \delta \)  grande posible de modo que se cumpla la definición de límite

\( \displaystyle\lim_{x \to{}\pi}{}\lfloor x \rfloor = 3  \) y \( \epsilon = 1 \)

De antemano muchas gracias

[Fernando Revilla]

Dado \( \epsilon \) encuentre el valor de \( \delta \)  grande posible de modo que se cumpla la definición de límite   \( \displaystyle\lim_{x \to{}\pi}{}\lfloor x \rfloor = 3  \) y \( \epsilon = 1 \)

Una simple representación gráfica mostrará que el valor pedido es \( \delta=\color{red}\pi -3. \) La formalización es inmediata.

[Luis Fuentes]

Hola

Una simple representación gráfica mostrará que el valor pedido es \( \delta=1. \) La formalización es inmediata.

Sería \( \delta=\pi-3 \). ¿No?.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Sería \( \delta=\pi-3 \). ¿No?.

¡Uf, qué despiste! Sí, es ese delta.

[Fernando Revilla]

Como  auto-castigo, lo redacto:

          \( x\in (\pi-\delta,\pi+\delta)= (\pi-(\pi-3),\pi+(\pi-3))=(3,3.28...) \)
          \( \Rightarrow \left |{\lfloor x \rfloor}-3\right |=\left |3-3\right |=0<1=\epsilon. \)

Por otra parte,

          \( x < \pi -\delta=3\Rightarrow \left |{\lfloor x \rfloor}-3\right | \ge 1=\epsilon. \)

El delta pedido es por tanto \( \delta=\pi -3 \).

[cristianoceli]

Como  auto-castigo, lo redacto:

          \( x\in (\pi-\delta,\pi+\delta)= (\pi-(\pi-3),\pi+(\pi-3))=(3,3.28...) \)
          \( \Rightarrow \left |{\lfloor x \rfloor}-3\right |=\left |3-3\right |=0<1=\epsilon. \)

Por otra parte,

          \( x < \pi -\delta=3\Rightarrow \left |{\lfloor x \rfloor}-3\right | \ge 1=\epsilon. \)

El delta pedido es por tanto \( \delta=\pi -3 \).

Hola, entiendo pero que ocurre para otro valor de \( \epsilon \) por ejemplo \( \epsilon=0.01 \). ¿Cual es el valor de \( \delta \) en ese caso.

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, entiendo pero que ocurre para otro valor de \( \epsilon \) por ejemplo \( \epsilon=0.01 \). ¿Cual es el valor de \( \delta \) en ese caso.

En este caso exactamente lo mismo. Ocurre lo mismo para cualquier \( \epsilon\leq 1 \).

Haz un dibujo que te ayude a "verlo".

Saludos.