[Ankrus]

Buenos días compañeros, os planteo el siguiente problema. Sea el conjunto A, aquel formado por la bola cerrada centrada en el (0,0) y de radio 1, excepto el (0,0). Si su imagen es ]-1,1[ ¿puede ser esta función continua?

La respuesta es no, pero no consigo encontrar una explicapción clara. Por un lado:

La imagen es conexa y el conjunto también, por lo que si la función es continua su imagen deberá ser conexa. Entonces esto afirmaría la pregunta. Pero no es así. ¿Por dónde debo tirar? ¿Algún consejo para estos ejercicios?

[Ignacio Larrosa]

Buenos días compañeros, os planteo el siguiente problema. Sea el conjunto A, aquel formado por la bola cerrada centrada en el (0,0) y de radio 1, excepto el (0,0). Si su imagen es ]-1,1[ ¿puede ser esta función continua?

Si pudiésemos definir f con continuidad en el punto (0, 0), la respuesta sería claramente negativa, pues una función  continua transforma conjuntos cerrados en conjuntos cerrados, por lo que  debería ser simultáneamente \( f(A)\textrm{ cerrado y }f(A) = ]-1, 1[ \cup{}f(0, 0) \), lo que es imposible. Pero podría ocurrir que no pudiera extenderse con continuidad \( f\textrm{ al }(0, 0) \), por ejemplo \( f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2} \). Hay que buscar otro razonamiento.

La respuesta es no, pero no consigo encontrar una explicapción clara. Por un lado:

La imagen es conexa y el conjunto también, por lo que si la función es continua su imagen deberá ser conexa. Entonces esto afirmaría la pregunta. Pero no es así. ¿Por dónde debo tirar? ¿Algún consejo para estos ejercicios?

La primera frase de ese último párrafo no tienen sentido, partes de que la imagen es conexa y concluyes que lo es ... En cuanto a la segunda frase, es falsa. Que el conjunto origen y la imagen sean conexas no significa que la función debe ser continua. Lo que si es cierto es que la imagen de un conexo por una función continua es conexa.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Buenos días compañeros, os planteo el siguiente problema. Sea el conjunto A, aquel formado por la bola cerrada centrada en el (0,0) y de radio 1, excepto el (0,0). Si su imagen es ]-1,1[ ¿puede ser esta función continua?

Si pudiésemos definir f con continuidad en el punto (0, 0), la respuesta sería claramente negativa, pues una función  continua transforma conjuntos cerrados en conjuntos cerrados, por lo que  debería ser simultáneamente \( f(A)\textrm{ cerrado y }f(A) = ]-1, 1[ \cup{}f(0, 0) \), lo que es imposible. Pero podría ocurrir que no pudiera extenderse con continuidad \( f\textrm{ al }(0, 0) \), por ejemplo \( f(x, y) = \frac{1}{x^2+y^2} \). Hay que buscar otro razonamiento.

Pues la respuesta es si, y es suficiente con un ejemplo. En polares se ve mejor, aunque naturalmente puede formularse en coordenadas cartesianas:

\( f(r, \theta) = (1 - r)\cos \theta \)

La imagen \( f(A) = ]-1, 1[ \), y es continua en \( A.\textrm{ No en }\overline{A} \), desde luego.

Saludos,