[dave.jason]

¡Hola a todos! Espero que alguien sea capaz de ayudarme con un problema que tengo.

Sé que hay un procedimiento para, a partir de una circunferencia, encontrar el lado de un pentágono regular inscrito en ella. Y ese procedimiento también sirve para hallar el lado de un decágono regular. En internet hay muchas webs donde se muestra este procedimiento, como por ejemplo en https://educacionplasticayvisualeso.wordpress.com/2013/02/13/poligonos-inscritos-circunferencias/.

Lo que necesito es una justificación matemática de por qué ese método funciona, tanto para el pentágono como para el decágono. Cuanto más gráfica y menos analítica sea la demostración, mejor, ya que me gustaría poder enseñársela a alumnos de 4º de Educación Secundaria.

¿Alguien sabría cómo hacerlo?

Muchas gracias.

[Ignacio Larrosa]

El ángulo entre el radio del pentágono y una apotema contigua es \( \dfrac{360^\circ{}}{10} = 36^\circ{} \). A partir del pentagrama místico, estrella de cinco puntas inscrita en el pentágono regular, es fácil determinar que \( \cos 36^\circ{}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}+1}{4} \), la mitad del número áureo \( \phi \). A partir de aquí,

\( \sen 36^\circ{}=\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{10 - 2\sqrt[ ]{5}}}{4} \)

Y el lado \( d \) del pentágono es:

\( d = 2r\sen 36^\circ{} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{10 - 2\sqrt[ ]{5}}}{2} \)

tomando \( r = 1 \) por simplificar. Se trata entonces de construir un segmento con esa longitud. En la figura adjunta, por Pitágoras \( \overline{EF} = \overline{EG} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}}{2} \). Por tanto, \( \overline{AG} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}-1}{2} \), y nuevamente por Pitágoras, \( \overline{FG} = \displaystyle\frac{\sqrt[ ]{10 - 2\sqrt[ ]{5}}}{2}= d \), el lado del pentágono. Ahora ya solo hay que llevarlo cinco veces alrededor de la circunferencia.





Para el decágono es similar.

Saludos, de un colega jubilosamente jubilado ...

[dave.jason]

Me esperaba una demostración menos analítica. Pero me sirve. Gracias, ilarrosa.