[cristianoceli]

Hola estoy viendo triples pitagóricos y no se me ocurre esta demostración

Demostrar que el área de un triángulo rectángulo es un entero con longitudes de lados enteros

Tengo que probar entonces que \( \displaystyle\frac{ab}{2} \) es un entero.

He visto previamente el método de Babilonia para encontrar triples pitagóricos

\( a=mn, b= \displaystyle\frac{m^2-n^2}{2} , c= \displaystyle\frac{m^2+n^2}{2}  \) \( m,n \) deben ser impares.

Pero este método no genera todos los posibles triples pitagóricos. He intentado reemplazar \( a \) y \( b \) en \( \displaystyle\frac{ab}{2} \) pero no he llegado a nada.

No se me ocurre de que forma puedo probar esto.

[luis]

Entiendo que el problema que planteas es: dados \( a \) y \( b \)  enteros, mostrar que \( a\times b \) es par.

Si es así, está mal planteado (toma lados de largo impar).

Si no es así, no entendí tu envío.

saludos

luis

[mathtruco]

Me parece que se refiere a que los lados del triángulo son ternas pitagóricas, así que quiere mostrar que uno de los dos números más pequeños en una terna pitagórica es par.

[cristianoceli]

Me parece que se refiere a que los lados del triángulo son ternas pitagóricas, así que quiere mostrar que uno de los dos números más pequeños en una terna pitagórica es par.

Exacto (creo que no me explique bien).

Saludos

[robinlambada]

Hola.
Una idea es que veas las distintas posibilidades de paridad de a,b y c, siendo los catetos y la hipotenusa respectivamente.

con \( c^2=a^2+b^2 \)(*), como \( \forall{}q \in{}\mathbb{Z} \) tenemos que \( q \) y \( q^2 \) tienen igual paridad.

Solo Tienes estas opciones en (*) P+P=P , P+I=I , I+P=I ó I+I=P.

Basta probar que esta última (I+I=P ) es imposible, para demostrar que al menos un cateto es par.

Saludos.

[cristianoceli]

Hola.
Una idea es que veas las distintas posibilidades de paridad de a,b y c, siendo los catetos y la hipotenusa respectivamente.

con \( c^2=a^2+b^2 \)(*), como \( \forall{}q \in{}\mathbb{Z} \) tenemos que \( q \) y \( q^2 \) tienen igual paridad.

Solo Tienes estas opciones en (*) P+P=P , P+I=I , I+P=I ó I+I=P.

Basta probar que esta última (I+I=P ) es imposible, para demostrar que al menos un cateto es par.

Saludos.

Vale lo intentaré. De por si (I+I=P ) eso no puede cumplirse ya que los lados de un cateto nunca los dos a la vez son impares ya que para encontrar los valores de \( m,n \) tenemos que \( m,n \) son impares. Y \( a =mn \), es decir, \( a \) es impar ya la multiplicación de dos impares es impar. Y b es
\( b = \displaystyle\frac{m^2-n^2}{2} \) y esto nunca es impar ya que la resta de dos impares es siempre par