Hola, Marcos, comprendo que el texto te deje dudas.
hace referencia a números positivos, no a enteros
Debes sobreetender que son enteros positivos, por el contexto y por la propia asingatura (aunque no sé si lo dices en por esta cuestión).
Supone que uno de ellos, al menos, es distinto de cero; entonces, puedes imaginar para empezar que uno de los números es cero: como cero es divisible por todos los naturales, el otro número, que es finito y mayor que cero, es el mcd. Y los otros divisores comunes son menores que el máximo común divisor; por lo cual no puede ser una cantidad infinita de ellos, ya que, el divisor más pequeño es 1 y no pasa de ahí.
Ahora, si lo piensas con dos enteros positivos sin que ninguno sea cero, los dos son finitos, esto también se sobreentiende (los enteros son números finitos por definición, es decir, con una cantidad finita de cifras) y son iguales ambos o uno de ellos mayor que otro; y entonces pasa lo mismo que en el caso anterior.
La propiedad que cita es para dar a entender que el mcd no puede ser mayor que el mayor de los números, supongo (lo cual es trivial). Y entonces, pues eso, implica que sean finitos porque los divisores siempre estarán “metidos” entre ese número mayor y el 1, el mínimo divisor entero positivo posible.
Pero, en cuanto a esa propiedad citada, “a” no tiene por qué dividir a “b” ni al revés para que existan divisores comunes, pues siempre existen dados dos enteros según las condiciones del enunciado; al menos el 1. Por tanto, dicha propiedad no sé yo si está muy bien traída así sin explicar más.
Saludos.
