Hola
Un equipo de fútbol jugó la pasada temporada 30 partidos y marcó un total de
53 goles, habiendo marcado al menos un gol en cada partido. Demuestre que
el equipo marcó exactamente 6 goles en una serie de partidos consecutivos.
Creo que hay que utilizar en algún momento el Principio del Palomar o la formulación fuerte del Principio del Palomar, pero no estoy segura puesto que habrá que utilizar algo mas para asegurar que sean consecutivos, es decir, que habrá una subsucesión.
Si \( g_i \) es el número de goles que metieron en el partido \( i \)-ésimo, consideramos la acumulación de goles hasta el partido \( k \)-ésimo.
\( s_k=\displaystyle\sum_{i=1}^k{}g_i \)
Esos treinta números \( \{s_k\}_{k=1,2,\ldots,30} \) son todos distintos (porque en cada partido al menos se metió un gol) y están comprendidos en el intervalo \( [1,53] \).
Tenemos que probar que dos de ellos difieren exactamente en \( 6 \) unidades.
Ahora considera las \( 24 \) casillas marcadas con los pares de números:
\( (1,1+6),(2,2+6),\ldots(6,6+6) \)
\( (13,13+6),(14,14+6),\ldots(18,18+6) \)
\( (25,25+6),(26,26+6),\ldots(30,30+6) \)
\( (37,37+6),(38,38+6),\ldots(42,42+6) \)
cubren todos los números desde \( 1 \) hasta \( 48 \). En nuestros \( 30 \) números \( s_k \) hay a lo sumo \( 5 \) que quedan fuera de ese rango: \( 49,50,51,52,53 \). Por tanto tenemos al menos \( 30-5=25 \) números a ubicar en esas 24 casillas.
Basta probar que necesariamente hay dos números en alguna casilla.
Termina...
Saludos.
