Haciendo:
\( \begin{matrix}{a = y + z}\\{b = x+ z}\\{c=x+y}\end{matrix} \)
nos queda
\( M = \frac{1}{a+b-c} + \frac{1}{b+c-a} + \frac{1}{c+a-b} = \frac{1}{2z} + \frac{1}{2x} + \frac{1}{2y} \)
Este es un recurso habitual para demostrar desigualdades con los lados de un triángulo. Utilizando ahora la desigualdad de Jensen para funciones convexas:
\( a, b \in{}[c, d], f''(x) > 0\; \forall{x}\in{}[c, d],\;\; \Longrightarrow{}\;\; f\left(\displaystyle\frac{a + b}{2}\right)\leq{}\displaystyle\frac{f(a)+ f(b)}{2} \)
aplicada a la función \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \), tenemos
\( M = \displaystyle\frac{\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}}{2} + \displaystyle\frac{\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}}{2} + \displaystyle\frac{\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}}{2}\leq{}\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2z+2y}{2}}+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2x+2z}{2}}+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{2x+2y}{2}}= \displaystyle\frac{1}{z+y}+\displaystyle\frac{1}{x+z}+\displaystyle\frac{1}{x+y}= \displaystyle\frac{1}{a}+\displaystyle\frac{1}{b}+\displaystyle\frac{1}{c} \)
Saludos,
