[megasaw]

El ejercicio me pide: Calcular los valores de \(  x  \) que verifiquen que
\(  3(x-a)*a^2<x^3-a^3<3(x-a)*x^2 \)
Pero, qué se supone que debo hallar? un valor? despejar x? demostrar que es igual 'a'?  No entiendo qué debo hacer, ojalá puedan ayudarme.

[robinlambada]

Hola.

El ejercicio me pide: Calcular los valores de \(  x  \) que verifiquen que
\(  3(x-a)*a^2<x^3-a^3<3(x-a)*x^2 \)
Pero, qué se supone que debo hallar? un valor? despejar x? demostrar que es igual 'a'?  No entiendo qué debo hacer, ojalá puedan ayudarme.

Debes hacer lo que te piden , es decir hallar los valores de x que verifican las desigualdades.

Una pista , en los dos extremos de las desigualdades tienes el factor (x-a), si también puedes factorizar \( x^3-a^3 \), fijate que x=3 es raíz de \( x^3-a^3=0 \) luego puedes pasar todo a un miembro y agrupar.

Pero , si está bien los signos y no son menor y mayor ó igual , que son como has puesto,(me extraña un poco) entonces puedes comprobar que x=a no cumple las desigualdades por ser cada miembro cero.

Por ello puedes dividir las inecuaciones entre x-a y se simplifica.

Saludos.

P.D.: sigue mis indicaciones y si no lo terminas bien, di que has intentado y donde te atascaste , para que te podamos ayudar mejor.

[megasaw]

Llegué a este punto
\(  3a^2< x^2+ax+a^2 < 3x^2  \)

Qué debo hacer ahora?

[EnRlquE]

Hola megasaw.

 Ojo que eso se deduce únicamente cuando \( x>a, \) pues en este caso tenemos que el factor \( (x-a) \) que se simplifica es positivo. Para \( x<a \) se tienen las desigualdades contrarias. Lo que hay que hacer es resolver ambos casos por separado.

 Cuando \( x>a \) se obtiene lo que escribiste. Para terminar de resolver este caso hay que resolver las dos desigualdades \( 3a^{2}<x^{2}+ax+a^{2} \)   y   \( x^{2}+ax+a^{2}<3x^{2} \) por separado y luego intersectar las soluciones que obtengamos (siempre teniendo en cuenta que \( x>a \)).

 El caso en que \( x<a \) es similar. Se trata de resolver \( 3a^{2}>x^{2}+ax+a^{2}>3x^{2}. \) Una vez resueltos estos dos casos (el caso \( x>a \) y el caso \( x<a \)), la solución será la unión de las soluciones de ambos casos.

 Trata de terminar y cuéntanos qué obtienes o qué dudas te surgen.

Saludos,

Enrique.

[megasaw]

Pues de mucho pensar y resolver llegué a esto, no sé si esté correcto:
si \(  a>0, x>a ; x < -2a  \)
si \(   a\le 0, x<a ; x>-2a  \)

[EnRlquE]

Sería bueno que nos muestres el procedimiento que has seguido. Una forma de resolver el primer caso es la siguiente:

 Tenemos que \( x-a>0 \) (esto lo podemos usar en cualquier momento dentro de la solución de este caso). La desigualdad \( 3a^{2}<x^{2}+ax+a^{2} \) es equivalente a \( x^{2}+ax-2a^{2}>0, \) que a su vez es equivalente a \( (x+2a)(x-a)>0. \) Entonces como \( x-a>0, \) podemos simplificar este factor de la última desigualdad y obtenemos que \( x+2a>0, \) es decir \( x>-2a. \) Similarmente, la desigualdad \( x^{2}+ax+a^{2}<3x^{2} \) es equivalente a \( (2x+a)(x-a)>0, \) de donde usando que \( x-a>0 \) obtenemos que \( x>-a/2. \) Luego la solución de este caso es la intersección de los intervalos \( (-2a,+\infty) \) y \( (-a/2,+\infty). \) Si \( a\geq0 \) tenemos que \( (-2a,+\infty)\cap(-a/2,+\infty)=(-a/2,+\infty); \) mientras que si \( a<0 \) ocurre que \( (-2a,+\infty)\cap(-a/2,+\infty)=(-2a,+\infty). \)

 El caso \( x<a \) es similar. Trata de terminar y cualquier cosa, pregunta.

Saludos,

Enrique.