[taty]

Hola necesito ayuda con este ejercicio

Obtener la ecuación del plano que contenga a los punto \( (0,0,2) \), \(  (2,4,1) \) y \( (-2,3,3) \)
Lo he hecho así:

\( P(0,0,2), Q(2,4,1), R(-2,3,3) \)

\( PQ=<2,4,-1> \), \( PR=<-2,3,1> \)

Con producto cruz =\(  7i-0j+14k \quad \Rightarrow\quad  (7,0,14) \)
\( 7(x-0)+0(y-0)+14(z-2)=0 \quad \Rightarrow\quad 7z+14z-28=0 \)

Pero me lo piden resolverlo de dos maneras..
¿de qué otra forma lo puedo resolver?.

[mathtruco]

Yo lo habría resuelto del mismo modo. Otra forma es darte la ecuación de un plano, reemplazar los tres puntos y resolver el sistema que resulta

[Ignacio Larrosa]

Hola necesito ayuda con este ejercicio

obtener la ecuacion del plano que contenga a los punto (0,0,2),(2,4,1) y (-2,3,3)
lo he hecho asi:
P(0,0,2), Q(2,4,1), R(-2,3,3)
PQ=<2,4,-1>, PR=<-2,3,1>
con producto cruz = 7i-0j+14k --> <7,0,14>
7(x-0)+0(y-0)+14(z-2)=0 --> 7z+14z-28=0

pero me lo piden resolverlo de dos maneras..
de que otra forma lo puedo resolver...?

Fíjate que el producto vectorial lo haces para obtener un vector perpendicular al plano. Lo único que te interesa de ese vector es su dirección, el módulo e incluso el sentido son indiferentes. Cuando de un vector solo te interesa su dirección, puedes multiplicarlo por cualquier valor, distinto de cero, incluso cambiándole el signo. Entonces es casi mejor simplificar ya de entrada el vector, y tomar el \( <1, 0, 2> \) con lo que llegas a la ecuación del plano \( x + 2z - 4 = 0 \), la misma que puedes obtener simplificando la ecuación a que tu llegaste. Siempre es mejor trabajar con números enteros lo más pequeños posible.

Otras formas de obtener la ecuación del plano es la que te indica mathtruco, haciendo que los tres puntos verifiquen la ecuación \( Ax + By + Cz + D = 0 \). Obtienes así un sistema lineal de tres ecuaciones, una para cada punto, con cuatro incógnitas: \( A, B, C\textrm{ y }D \). Este sistema es indeterminado, porque si multiplicas todos los coeficientes por una misma constante distinta de cero, sigues teniendo la ecuación del mismo plano.

Otra forma de hacerlo es imponer que los dos vectores que obtuviste y un tercero con origen en uno de los puntos y extremo en un punto genérico del plano sean dependientes, es decir que su determinante sea nulo:

\( \left |{\begin{matrix}{x-0}&{y-0}&{z-2}\\{2}&{4}&{-1}\\{-2}&{3}&{1}\end{matrix}}\right |=7x + 0y +14(z - 2) = 7x + 14z - 28 = 0 \)

que podemos nuevamente simplificar a \( x + 2z - 4 = 0 \). Esto es otra forma de hacer lo mismo que hiciste tú, sin calcular expresamente el producto vectorial.

Saludos,