[megasaw]

Tengo que verificar la siguiente igualdad:
\(   \left [ (a-b)^2 +(b-c)^2 + (c-a)^2 \right ]^2 = 2\left [ (a-b)^4 +(b-c)^4 +(c-a)^4\right ]  \)
quería saber si existe una forma más simple y rápida de verificarla en lugar de elevar todos esos binomios al cuadrado. Espero su ayuda, gracias.

[Samir M.]

Hola.

Haciendo el cambio: \( (a-b) = x \), \( (b-c) =y \), \( z=c-a=-(x+y) \) (es decir, sujeto a la restricción \( x+y+z=0 \))

Saludos.

[megasaw]

He obtenido eso
\(  x^4 + y^4 + z^4 +2(x^2y^2 + x^2z^2 + y^2z^2)   \)
tengo los terminos de potencia 4, pero y ese polinomio que acompaña al dos? cómo termino de verificar?

[EnRlquE]

Hola megasaw.

 Imagino que quisiste decir que llegaste a \( x^{4}+y^{4}+z^{4}{\color{blue}=}2[x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}]. \) Tenemos que demostrar esta igualdad cuando \( x+y+z=0. \)

 Una forma es ver que \( 0=(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2[xy+xz+yz] \) implica que \( 4(xy+xz+yz)^{2}=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}. \) Resolviendo esta última igualdad (y acomodando un poco las expresiones) obtenemos que

\( 4[x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}+2xyz(x+y+z)]=x^{4}+y^{4}+z^{4}+2(x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}). \)

Para terminar de probar la igualdad que buscamos, nota que \( 2xyz(x+y+z)=0 \) y acomoda un poco los términos de la anterior igualdad.

Saludos,

Enrique.