[megasaw]

Buenas, tengo un ejercicio del que tengo idea cómo hacerlo pero no sé cómo aplicarlo, dice así:
Probar que no existe ningún número real tal que \(  x^2+1=0 \)
Sé que en \(  \mathbb{R} \) no tiene solución, y se me ocurrió usar que todo número elevado a una potencia par es siempre positivo, pero no se me ocurre cómo demostrarlo. Espero puedan ayduarme.

[mathtruco]

- El Teorema Fundamental del Álgebra afirma que todo polinomio de grado \( n \) tiene exactamente \( n \) raíces. Como tu polinomio tiene grado 2 y sabemos que \( \pm i \) son raíces, ambas no reales, sabemos que no tiene raíces reales.

- Otra forma podría usar que \( \dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \) son las raíces de un polinomio de grado 2.

No sé si haya un argumento más elegante.

Sé que en \(  \mathbb{R} \) no tiene solución, y se me ocurrió usar que todo número elevado a una potencia par es siempre positivo, pero no se me ocurre cómo demostrarlo. Espero puedan ayduarme.

Viene de los Axiomas de Orden así que seguramente puedes usarlo, y es un argumento más general que los anteriores.

[Samir M.]

Hola.

Lo que yo haría es considerar los casos \( x>0 \), \( x<0 \) y \( x=0 \) teniendo en mente lo que comentas, que todo número real elevado a potencia par es mayor o igual que cero.

Saludos.

[sugata]

¿Qué os parece esto?

\( x^2=-1\\x=-\dfrac{1}{x}\\-x=\dfrac{1}{x} \)

Esto implicaría que el opuesto de un numero sea igual a su inverso.
A parte, en esa última ecuación se vé que los signos son contrarios.

[mathtruco]

¿Qué os parece esto?

\( x^2=-1\\x=-\dfrac{1}{x}\\-x=\dfrac{1}{x} \)

Esto implicaría que el opuesto de un numero sea igual a su inverso.
A parte, en esa última ecuación se vé que los signos son contrarios.

Yo lo veo bien, pero si nos ponemos espesos habría que probar que el opuesto e inverso tienen signos distintos.
Si lo aceptamos sólo como algo intuitivo sigo prefiriendo el argumento de megasaw, que también es intuitivo, y si nos ponemos espesos es sólo revisar los últimos axiomas de orden. Nada extra que escribir.

[sugata]

Gracias.
Tienes razón, quizá muy intuitivo.
Si \( x>0\Rightarrow{}-x<0\ y\ 1/x>0 \)

Y lo mismo si es negativo.
Con eso ¿quedaría ya fuera de la intuición?

[Juan Pablo Sancho]

Viendo lo dicho, pongo un matar moscas a cañonazos (es una broma de respuesta  no tomarla en serio).

\(  0 = x^2 + 1 = x^2+1^2=(x+1)^2 - 2 \cdot x  \) entonces:

\(  2 \cdot x = (x+1)^2  \) tenemos entonces que \( x  \) positivo.

\(  \dfrac{2x}{x+1} = x+1  \)

\(  \dfrac{2x+2 - 2}{x+1} = x+1  \)

\(  2 - \dfrac{2}{x+1} = x+1  \)

\(  2 = \dfrac{2}{x+1} + (x+1)  \)

Tenemos entonces:

\(  2 = \dfrac{2}{x+1} + (x+1) >   \dfrac{1}{x+1} + (x+1) \geq 2  \) entonces \(  2 > 2  \)

Usando la desigualdad fácil de probar \(  u + \dfrac{1}{u} \geq 2  \) para \(  u > 0  \).

[mathtruco]

Sugata: ambas respuestas son igualmente correctas, pero "intuitivas". Con eso me refiero a que está totalmente correcta, pero si uno se pusiera odioso tendría que primero probar que el inverso y simétrico tienen signos opuestos, esto mediante los axiomas. Se puede demostrar, claro, es fácil, pero hay que escribir algunas líneas extra.

Es decir, si colocas eso en una prueba debieran tomártelo como correcto.

Por eso sigo considerando que un razonamiento del tipo "como menos por menos (y más por más) es más, entonces \( x^2>0 \) para todo real \( x \)". De hecho, esto viene directo de los axiomas de orden de los reales, así que también es correcto del punto de vista del rigor matemático.

[sugata]

Entendido.
Gracias.