[megasaw]

Tengo un ejercicio de demostración, pero no sé cómo resolverlo ya que no me queda claro qué usar. Dice así:
Demostrar que si \( a \ne 0 \) y \( a\in\mathbb{Q} \) y si \( b \) es un número irracional, entonces \( a+b \) y \( ab \) son números irracionales.

Agradezco su ayuda.

[Samir M.]

Hola.

Pistas: Puesto que \( a \) es racional, entonces \( a = \dfrac{c}{d} \) para ciertos enteros \( c \) y \( d \). Supón que \( a+b \) es racional. Entonces existen ciertos enteros \( e \), \( f \) tal que \( a+b = \dfrac{e}{f} \). Despeja \( b \). Concluye.

Para el otro caso piensa en algo similar.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Aunque el en fondo es lo mismo que dice Samir M. yo te recomendaría previamente probar (si no te lo han demostrado ya que):

- La suma y diferencia de racionales es racional.
- El producto de racionales es racional.
- El inverso multiplicativo de un racional no nulo es racional.

 A partir de ahí normalmente uno razona la irracionalidad de un número por reducción al absurdo: suponiendo que es racional y llegando a una contradicción.

 En tu caso ten en cuenta que:

\(  b=(a+b)-a \)

\(  b=ab\cdot \dfrac{1}{a} \)

Saludos.