[cristianoceli]

Hola he quedado atascado en este ejercicio

Demuestre que la sucesión definida por \( x_1=3 \) y \( x_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{4-x_n} \) converge y determine su limite.

Lo que he hecho

Por el teorema de la convergencia monótona. Tengo que demostrar que la sucesión converge si es monotona y acotada.

Por inducción puedo demostrar que decrece

Supongamos para \( k\in{N} \) que \( x_k>x_{k+1} \)

Entonces observemos que

\( \begin{align}
x_{k} > x_{k+1}\Leftrightarrow -x_{k} < -x_{k+1} \Leftrightarrow 4-x_{k}<4-x_{k+1} \Leftrightarrow \dfrac{1}{4-x_{k}}>\dfrac{1}{4-x_{k+1}}\Leftrightarrow x_{k+1}>x_{k+2}\text{.}
\end{align} \)

Pero ¿como demuestro que es acotada? ¿como calculo el limite si no tengo la fórmula de \( x_n \)?

De antemano gracias

[ingmarov]

Hola

Haciendo una prueba con python he obtenido un valor,

para n=16,17,18,19,...          xn=0.2679491924311227


Te pongo algunos valores de la sucesión

Spoiler

1    3.0
2    1.0
3    0.3333333333333333
4    0.27272727272727276
5    0.2682926829268293
6    0.2679738562091503
7    0.2679509632224168
8    0.26794931956827783
9    0.2679492015591601
10    0.2679491930864863
11    0.26794919247817567
12    0.267949192434501
13    0.2679491924313653
14    0.2679491924311401
15    0.267949192431124
16    0.2679491924311228
17    0.2679491924311227
18    0.2679491924311227
19    0.2679491924311227
20    0.2679491924311227

[cerrar]

Te puede servir como pista supongo.

[cristianoceli]

Hola

Haciendo una prueba con python he obtenido un valor,

para n=16,17,18,...          xn=0.2679491924311227


Te pongo algunos valores de la sucesión

Spoiler

1    3.0
2    1.0
3    0.3333333333333333
4    0.27272727272727276
5    0.2682926829268293
6    0.2679738562091503
7    0.2679509632224168
8    0.26794931956827783
9    0.2679492015591601
10    0.2679491930864863
11    0.26794919247817567
12    0.267949192434501
13    0.2679491924313653
14    0.2679491924311401
15    0.267949192431124
16    0.2679491924311228
17    0.2679491924311227
18    0.2679491924311227
19    0.2679491924311227
20    0.2679491924311227

[cerrar]

Te puede servir como pista supongo.

Ok gracias ingmarov, todo sirve


Saludos

[Samir M.]

Hola.

Pero ¿como demuestro que es acotada? ¿como calculo el limite si no tengo la fórmula de \( x_n \)? 

Si sospechas que es convergente, puedes usar lo siguiente: dada \( f(x_n) \) continua, entonces \( \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+1}=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(L) \). Es decir, puesto que en tu caso es continua, puedes usar esto para hallar el límite como simplemente: \(  L = \dfrac{1}{4-L} \), obteniendo \( L=2+\sqrt{3}, 2-\sqrt{3} \). Puedes usar esto para demostrar la convergencia simplemente por definición.

Siguiendo tu desarrollo, para acotarla inferior y superiormente, puedes suponer que \( 0 < x_n \leq 3 \) luego \( 4 > 4-x_k \geq 1 \) y, por tanto, \(  \dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{4-x_k}\leq 1  \). También podrías mirar que es estrictamente creciente analizando el signo de la derivada de \( f(x_n) \).
 
Nota: observa que se puede reescribir a \( x_{n+1} \) como \( x_{n+1}=\dfrac{p}{4p-q} \) donde \( p \) y \( q \) son primos.

Saludos.

[Juan Pablo Sancho]

Supuesto que es decreciente para \( n\geq 3  \) teniendo en cuenta \( x_3 = \dfrac{1}{3}  \) tenemos que si \( n >3  \) entonces:

\(  x_n < \dfrac{1}{3} < 4  \) entonces \( -x_n > - \dfrac{1}{3} > -4  \) sumo \( 4 \) y queda \(  4-x_n > \dfrac{11}{3} > 0  \) entonces:

\( 0 < \dfrac{1}{4-x_n} < \dfrac{3}{11}  \)

Para \(  n >3  \) tenemos:

\( |x_{n+2} - x_{n+1}| = |\dfrac{1}{4-x_{n+1}} - \dfrac{1}{4-x_n}| = \dfrac{|x_{n+1}-x_n|}{(4-x_{n+1}) \cdot (4-x_n)} < \dfrac{9}{121} \cdot |x_{n+1}-x_n|  \)

La serie es contractiva y por tanto convergente.