Hola!
¿Alguien podría ayudarme con los siguientes ejercicios?
1.Un grupo de niños va al parque. Algunos van al Trencito, otros a la Rueda Gigante y otros a la Calesita. 60 de ellos fueron al menos a 2 juegos y 20 de ellos fueron a los 3 juegos. Si se gastó $2350, cada entrada vale $10 y todos subieron a algún juego ¿Cuántos niños eran? (Aclaración: cada niño sube a lo más una vez a un juego dado)
2.Luego tengo este ejercicio:
Contar los subconjuntos de 4 elementos de \( S=\left\{{1,2,3...100}\right\} \) tales que la distancia entre toda pareja de elementos sea de 3 o más.
Bien, en este pensé lo siguiente, de los 100 elementos de \( S \) tomé 4 (no usé combinaciones porque no importa como agarre los 4, va a haber una única forma de hacerlo...), entonces, ahora \( S \) tiene 96 elementos.
Luego pensé el ejercicio de la siguiente forma: \( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=96 \) donde los \( x_i \) son los "espacios" que hay entre los 4 elementos que elegí de \( S \), entonces, por lo que dice la letra \( x_2\geq{3}, x_3\geq{3}, x_4\geq{3} \) y \( x_1\geq{0}, x_5\geq{0} \). Entonces, me quedaría \( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=96-9=87 \), y para encontrar la respuesta al ejercicio, encontraría la cantidad de soluciones de la última ecuación, que serían combinaciones con repetición de 5 en 87 (
no sé escribir combinaciones con repetición en latex
...) que serían \( \displaystyle\binom{91}{87} \) y
esto está mal.Luego, intentando hacer otra cosa, pensé en hacer lo mismo, pero con \( x_2>2, x_3>2, x_4>2 \) (y \( x_1\geq{0},x_5\geq{0} \)), entonces la ecuación me queda \( x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=90 \), busco la cantidad de soluciones con combinaciones con repetición, y me queda \( \displaystyle\binom{94}{90}=\displaystyle\binom{94}{4} \) y esta es la opción que
esta bien.Ahora mi pregunta es...¿no es lo mismo \( x_i\geq{3} \) que \( x_i>2 \) (en los naturales)? ¿se hace de otra forma nada que ver a como lo hice y llegué al resultado de casualidad?
Espero alguien pueda ayudarme, gracias de antemano
