[cristianoceli]

Hola tengo que probar que el intervalo \( (a,b) \) tiene la misma cardinalidad que \( \mathbb{R} \)

He pensado en formar una biyección para probar esto y solo se me ocurre la función tangente pero no se muy bien como escribirlo formalmente.


De antemano gracias.

Saludos

[Ignacio Larrosa]

Transforma el intervalo \( (a, b)\textrm{ en el }(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})  \) mediante una función lineal \( g(x) = mx + n = x' \). Debe ser:

\(
\begin{array}{r}
{-\dfrac{\pi}{2}} = m·a + n\\
{\dfrac{\pi}{2} = m·b + n}
\end{array} \)

Entonces \( f(x):(a, b)\longrightarrow{}\mathbb{R}, f(x)= \tg (g(x)) \) es la biyección que buscas.


Saludos,

[cristianoceli]

Transforma el intervalo \( (a, b)\textrm{ en el }(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})  \) mediante una función lineal \( g(x) = mx + n = x' \). Debe ser:

\(
\begin{array}{r}
{-\dfrac{\pi}{2}} = m·a + n\\
{\dfrac{\pi}{2} = m·b + n}
\end{array} \)

Entonces \( f(x):(a, b)\longrightarrow{}\mathbb{R}, f(x)= \tg (g(x)) \) es la biyección que buscas.


Saludos,

Ok muchas gracias.


Saludos

[Fernando Revilla]

Otra forma es considerar \( F=f\circ g \) con

            \( \begin{aligned}&(a,b)\stackrel{g}{\longrightarrow}(-1,1) \stackrel{f}{\longrightarrow} \mathbb{R}\\
& g(x)=\dfrac{2}{b-a}(x-a)-1,\quad f(x)=\dfrac{x}{1-\left|x\right|}.
\end{aligned} \)

Es fácil verificar que \( g \) es biyectiva. También \( f \) es biyectiva, en consecuencia, \( F \) es biyectiva.

[cristianoceli]

Otra forma es considerar \( F=f\circ g \) con

            \( \begin{aligned}&(a,b)\stackrel{g}{\longrightarrow}(-1,1) \stackrel{f}{\longrightarrow} \mathbb{R}\\
& g(x)=\dfrac{2}{b-a}(x-a)-1,\quad f(x)=\dfrac{x}{1-\left|x\right|}.
\end{aligned} \)

Es fácil verificar que \( g \) es biyectiva. También \( f \) es biyectiva, en consecuencia, \( F \) es biyectiva.

No lo habia pensado de esa forma.


Saludos

[Ignacio Larrosa]

Ya puestos, gráficamente  :



Desplazar \( a\textrm{ y }b\textrm{ y mover o animar }X \). En realidad, muestra una biyección \( [a, b] \longleftrightarrow{} \overline{\mathbb{R}} \)

Saludos,