gracias por la pronta respuesta, que lo resuelva usando aproximaciòn numèrica se refiere usar aproximaciòn de Taylor para la tangente? es que me gustaria saber como se resuelve de forma analìtica, y se refiere tambièn que puedo tomar el lìmite cuando x tiende a cero? aunque no entiendo para que tomar el lìmite si lo que quiero es obtener son las raices de la derivada no el valor de la funciòn al tomar el lìmite. Espero me pueda explicar un poco màs. Gracias de antemano.
La función en principio esta indefinida en x = 0. Si se define convenientemente:
\( f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sen \pi x}{\pi x} & \text{ si }& x\neq{}0\\1 & \text{si}& x = 0\end{cases} \)
se ve que es continua en x = 0 , puesrto que \( \displaystyle\lim_{x \to{}\0}{\dfrac{\sen \pi x}{\pi x} } = 1 \). Lo puedes ver, salvo la constante \pi que no afecta, por ejemplo
aquí.
Como se trata de una función par, \( f(-x) = f(x),\textrm{ basta con estudiarla para }x \geq{}0 \).
Al buscar los puntos críticos, igualando la derivada a cero:
\( f^{\prime}(x) =\dfrac{\pi x \cos(\pi x) - \sen(\pi x)}{\pi x^2}=0 \)
te encuentras dos situaciones distintas:
i) x = 0. Aquí la derivada no está en principio definida, hay que ver si existe. Como la función la hemos definido con continuidad, utilizando el teorema del valor medio podemos estudiar simplemente los límites de la derivada cuando \( x\rightarrow{}0 \). Alternativamente, deberíamos calcular directamente la derivad en \( x = 0 \), utilizando la definición como límite del cociente incremental. Para lo primero:
\( f'(0) = \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\dfrac{\pi x \cos(\pi x) - \sen(\pi x)}{\pi x^2}} \)
Aplicando la regla de L'Hôpital, puesto que se trata de un límite de la forma \( 0/0 \), nos queda:
\( f'(0) = \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\dfrac{-\pi^2 x \sen(\pi x)}{2 \pi x}}= \displaystyle\lim_{x \to{}0}{\left(-\frac{\pi}{2} \sen(\pi x)\right)} = 0 \)
Por tanto, x = 0 es un punto crítico. Estudiando la segunda derivada en x = 0, nuevamente puesto que la primera es continua podemos invocar el teorema del valor medio para hallarla como el límite de la función derivada segunda en x = 0, podemos ver que se trata de un máximo.
ii) Si \( x \neq{} 0 \), podemos simplemente ver donde se anula el numerador de la derivada primera, y nos queda la ecuación trascendente:
\( \tg (\pi x) = \pi x \)
Esta ecuación, salvo la raíz\( x = 0 \), no puede resolverse algebraicamente. Solo nos quedan los métodos numéricos para calcularlas con la aproximación que deseemos. Fácilmente se ve que hay una raíz en cada intervalo \( [k, k+1] \), cada vez más próxima, aunque menor, a \( k + \frac{1}{2} \).
Para ver si se trata de máximos o mínimos, es más sencillo estudiar el cambio de signo de la derivada, y se ve fácilmente que para k impar se trata de mínimos y para k par de máximos.
Saludos,
