[enrique-akatsuki]

Calcular \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{W}^{} \) \( (1- z^2) \)  \( dxdydz \) , donde  \( W \)  es la pirámide con vértice superior en \( (0,0,1) \)  y cuyos vértices en la base son \( (0,0,0) \) , \( (1,0,0) \) , \( (0,1,0) \)  y  \( (1,1,0) \)

[EnRlquE]

Hola enrique-akatsuki.

 Intenta verificar que la integral puede obtenerse calculando

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\Big(\int_{0}^{\color{red}1-z}\Big(\int_{0}^{\color{red}1-z}f(x,y,z)\,dx\Big)dy\Big)\,dz, \)

donde \( f \) es la función que queremos integrar. En nuestro caso \( f(x,y,z)=1-z^{2}. \) Si tienes dudas, pregunta.

Saludos,

Enrique.

Partes rojas editadas.

[Ignacio Larrosa]

Calcular \( \displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{}^{}\displaystyle\int_{W}^{} \) \( (1- z^2) \)  \( dxdydz \) , donde  \( W \)  es la pirámide con vértice superior en \( (0,0,1) \)  y cuyos vértices en la base son \( (0,0,0) \) , \( (1,0,0) \) , \( (0,1,0) \)  y  \( (1,1,0) \)

El integrando no depende de \( x\textrm{ ni de }y \), y el recinto es simétrico respecto al plano \( y = x \). Yo haría entonces dos por el la integral en el tetraedro de vértices \( (0, 0, 0), (1, 0, 0), (1, 1, 0)\textrm{ y }(0, 0, 1) \).


(puedes girar la figura con botón derecho del del ratón)

Modificado para contemplar ambos métodos: Método 1 - EnRIquE; Método 2 - ilarrosa/delmar

Empezamos planteando la integración en x:

\( I = 2\displaystyle\int_{0}^{1} \ldots dx \)

A continuación metemos la integración en \( y \):

\( I = 2\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{x}\ldots  dy \,dx \)

Pues en el plano \( Oxy \) el recinto es el triángulo limitado por el eje \( Ox,\textrm{ por la recta }y = x\textrm{ y la recta }x = 1.\textrm{ Y ahora vamos con la }z \):

\( I = 2\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{x} \displaystyle\int_{0}^{1 - x}\ldots dz\, dy\, dx \)

pues en esta parte, la \( z\textrm{ va desde el plano }Oxy\textrm{ hasta el plano }x + z = 1 \). Y ya le metemos el integrando:

\( I = 2\displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\int_{0}^{x} \displaystyle\int_{0}^{1 - x}(1 - z^2) dz\, dy\, dx \)

y si no me he confundido, me queda \( I = \dfrac{3}{10} \), compruébalo.

[delmar]

Hola

Una alternativa.

Considera al sólido como la reunión de dos :

Sólido 1

El que esta bajo el triángulo \( (0,0,1), \ (0,1,0) \ (1,1,0) \)

Solido 2

El que esta bajo el triángulo \( (0,0,1), \ (1,0,0) \ (1,1,0) \)

El integral será la suma de los integrales en ambos sólidos.

Integral 1

Haz de hallar el plano que pasa por los tres puntos, lo obtienes  :

\( det \ \begin{bmatrix} x & y &  z-1 \\ 0 &1 &  -1 \\  1 & 1 & -1\end{bmatrix}=0 \)

Teniendo en cuenta que la proyección del triángulo sobre el plano XY, es el triángulo (0,0,0), (0,1,0), (1,1,0)

Se llega a un integral :

\( \displaystyle\int_{0}^{1} \ dx \displaystyle\int_{x}^{1} \ dy \displaystyle\int_{0}^{1-y}(1-z^2)dz

 \)

Integral 2

Haz de hallar el plano que pasa por los tres puntos, lo obtienes  :

\( det \ \begin{bmatrix} x & y &  z-1 \\ 1 & 0 &  -1 \\  1 & 1 & -1\end{bmatrix}=0 \)

Teniendo en cuenta que la proyección del triángulo sobre el plano XY, es el triángulo (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0)

Se llega al integral :

\( \displaystyle\int_{0}^{1} \ dx \displaystyle\int_{0}^{x} \ dy \displaystyle\int_{0}^{1-x}(1-z^2)dz  \)

Y podrás verificar que ambos integrales son iguales como dice ilarrosa, por la simetría

El integral total será, la suma o el doble del primero o del segundo

Saludos