[Yeison]

Hola el problema es este:

Si en un instante determinado, el módulo de la aceleración tangencial es igual al módulo de la aceleración normal, se cumple que el vector acleración:

a) Es nula.
b)Tiene por módulo, el doble del módulo de la aceleración tangencial.
c)Forma una ángulo de 45º con el radio de curvatura.
d)Es perpendicular a la trayectoria.

Muchas gracias y feliz año.

[Lambda]

Partimos de:

\( a^2 = a_t^2 + a_n^2 \)
Llama x al módulo de la aceleración normal y tangencial; así pues:
\( a^2 = 2x \)    , luego a =\(  \sqrt[ ]{2x} \)
Con esto llegas a la conclusión de que el módulo de la aceleración no es el doble del módulo de la aceleración tangencial, por lo que descartas la respuesta b.
Además llegas a la conclusión de que la aceleración sólo es nula si no existe ni aceleración tangencial ni normal, cosa que no dicen; con lo cual la respuesta a es falsa.

Después entre la c y la d, me quedaría con la c, puesto que la aceleración total te sale con un ángulo de 45º debido a la igualdad de módulo de vectores perpendiculares; y suponemos que el radio de curvatura lo determina la aceleración normal.

Esta es mi opinión,

Saludos,

[aladan]

Hola
La aceleración de ese movimiento como vector resultante de dos iguales en modulo y direcciones perpendiculares es evidentemente un vector no nulo cuya dirección forma 45º con lo dos sumandos, por tanto ratificando lo que dice Lamda forma 45º con el radio de curvatura, coincidente con la aceleración normal, y 45º con la dirección de la trayectoria, coincidente con la aceleración tangencial.
Saludos

[Jabato]

Vamos a ver Aladan, no es tan evidente ya que nadie ha dicho que el movimiento deba ser plano, en R³ hay que demostrarlo, y lo haré.

Supongamos conocidos los vectores v, a = v'. Supongamos que a se descompone en suma de dos vectores:

a = an + at

de forma que el primero de ellos es normal a v y el segundo paralelo, y ambos son iguales en módulo.

Podemos expresar que:

v = |v| · ut

y derivando esta expresión respecto del tiempo tenemos:

a = |v|'ut + |v|(ut)'

pero:

(ut)' = dut/ds · ds/dt = Cun · |v|

en la que C es la curvatura de la trayectoria y ds es el arco recorrido en el tiempo dt, con lo que la expresión definitiva de la aceleración resulta ser:

a = |v|'ut + C|v|²un

expresión que se corresponde con la suma de dos vectores, el primero tangente a la curva y el segundo normal a la curva ubicado en el plano osculador:

at = |v|'ut         an = C|v|²un

La conclusión es sencilla, la aceleración normal es un vector contenido en el plano osculador, plano que también contiene al centro y al radio de curvatura, por lo que se concluye que si el radio de curvatura forma 90º con la curva y la aceleración forma 45º con la curva (sus componentes tangencial y normal son iguales) la opción correcta es la c)

Saludos, Jabato.

 

[Yeison]

Hola, estas diciendo que en principio los vectores v,an,at estaban así en principio:

\( v\longrightarrow \uparrow an \uparrow at \)

¿Perdona mi ignorancia pero para que sirve derivar en este caso? Tampoco entiendo la situación de los vectores depués de derivar.

Saludos y gracias.

[Jabato]

Trataré de explicarme. En R³ podría ocurrir (no ocurre, ya lo demostré) que la componente normal de la aceleración, an, aún siendo perpendicular a la trayectoria, lo es por definición, no estuviera contenida en el plano osculador, lo que haría que el ángulo que forma dicho vector con el radio de curvatura, r (consideraré que r es un vector con origen en el punto de la trayectoria considerado y con extremo el centro de curvatura), pudiera ser distinto de 45º, pero al realizar el desarrollo mostrado con anterioridad se deduce que dicha componente de a, an, es paralela al vector normal del triedro de Frenet, vector que está contenido en dicho plano y por lo tanto queda garantizado que an forma 45º con r,  puesto que at, an, y r están contenidos los tres en el plano osculador y por lo tanto v, a y r, son coplanarios. Si ahora sabemos que at y an tienen igual módulo según el enunciado, entonces es obligado que a y r formen un ángulo de 45º.

El motivo de realizar la derivación es claro, es para calcular a como suma de dos vectores, uno tangente a la trayectoria, at, y otro, an, dirigido según la dirección normal del triedro de Frenet, que es por lo tanto coincidente con la dirección de r.

Saludos, Jabato. 

[Yeison]

Ok, ya se ha entendido. Muchas Gracias.

Saludos