[cristianoceli]

Hola me he quedado atascado con demostrar que \( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}-\sqrt[ ]{3} \) es racional

Lo que he hecho:

\( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}-\sqrt[ ]{3}= \displaystyle\frac{p}{q} \)
\( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}= \displaystyle\frac{p}{q}+\sqrt[ ]{3} \)

Elevando al cuadrado

\( 4+2\sqrt[ ]{3}=\displaystyle\frac{p^2}{q^2}+2\sqrt[ ]{3}(\displaystyle\frac{p}{q})+3 \)
\( 1=\displaystyle\frac{p^2}{q^2}+2\sqrt[ ]{3}\displaystyle\frac{p}{q}-2\sqrt[ ]{3} \)

Hasta acá no he podido llegar a nada.

Saludos

[delmar]

Hola

¿que te parece si obtienes la raíz principal? Suponiendo que es de la forma :

\( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}=a+b\sqrt[ ]{3} \)

Se tiene elevando al cuadrado :

\( 4+2\sqrt[ ]{3}=a^2+3b^2+2ab\sqrt[ ]{3} \)

Para que se de la igualdad se tiene :

\( a^2+3b^2=4 \)

\( 2ab\sqrt[ ]{3}=2\sqrt[ ]{3} \)

Encuentras a y b, convenientes y luego hallas :

\( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}-\sqrt[ ]{3}=a+b\sqrt[ ]{3}-\sqrt[ ]{3} \)

Y te dáras cuenta que la expresión que te piden es un entero, en consecuencia es un número racional.

Saludos

[cristianoceli]

Hola

¿que te parece si obtienes la raíz principal? Suponiendo que es de la forma :

\( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}=a+b\sqrt[ ]{3} \)

Se tiene elevando al cuadrado :

\( 4+2\sqrt[ ]{3}=a^2+3b^2+2ab\sqrt[ ]{3} \)

Para que se de la igualdad se tiene :

\( a^2+3b^2=4 \)

\( 2ab\sqrt[ ]{3}=2\sqrt[ ]{3} \)

Encuentras a y b, convenientes y luego hallas :

\( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}-\sqrt[ ]{3}=a+b\sqrt[ ]{3}-\sqrt[ ]{3} \)

Y te dáras cuenta que la expresión que te piden es un entero, en consecuencia es un número racional.

Saludos

Buena idea. Muchas gracias delmar.



Saludos

[cristianoceli]

Al resolver el sistema obtengo las soluciones:

\( a=-1,b=-1 \)
\( a=1,b=1 \)
\( a=-\sqrt[ ]{3}, b=- \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}} \)
\( a=\sqrt[ ]{3}, b= \displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}} \)

Esta claro que la solución es \( a=1,b=1 \) pero ¿Qué argumento doy para descartar las otras 3 soluciones?

Saludos

[zimbawe]

Hola, a mí se me ocurre lo siguiente.
Mira que
\( \sqrt{4+2\sqrt{3}}=\sqrt{3+1+2\sqrt{3}} \)
Ahora mira que
\( (\sqrt{3}+1)^{2}=3+2\sqrt{3}+1 \)
Entonces nos queda
\( \sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}-\sqrt{3}=1 \)

[luis]

Me parece más sencillo usar conjugadas, es decir, usar que \( (\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{3})\times(\sqrt{4+2\sqrt{3}}+\sqrt{3}) = 4+2\sqrt{3}-{3} \).


(editado: hmmm... me surgieron dudas reviso y aviso)

(editado2: hmmm hmmm... le erré. Disculpen el ruido)

saludos

luis

[delmar]

El argumento es que \( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}>0 \), con esto descartas :

\( a=-1, \ b=-1 \); ya que esto implica que la raíz es negativa.

También :

\( a=-\sqrt[ ]{3}, \ b=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{3}} \); igualmente implica que la raíz es negativa.

Luego las soluciones son :

\( a=1, \ b=1 \)

y

\( a=\sqrt[ ]{3}, \ b=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}} \)

Estas dos soluciones implican la misma raíz \( 1+\sqrt[ ]{3} \) puedes verificarlo.

Saludos

[cristianoceli]

El argumento es que \( \sqrt[ ]{4+2\sqrt[ ]{3}}>0 \), con esto descartas :

\( a=-1, \ b=-1 \); ya que esto implica que la raíz es negativa.

También :

\( a=-\sqrt[ ]{3}, \ b=\displaystyle\frac{-1}{\sqrt[ ]{3}} \); igualmente implica que la raíz es negativa.

Luego las soluciones son :

\( a=1, \ b=1 \)

y

\( a=\sqrt[ ]{3}, \ b=\displaystyle\frac{1}{\sqrt[ ]{3}} \)

Estas dos soluciones implican la misma raíz \( 1+\sqrt[ ]{3} \) puedes verificarlo.

Saludos

Muchas gracias delmar y a todos por su interés en el tema

Saludos

[cristianoceli]

\( (\sqrt{3}+1)^{2}=3+2\sqrt{3}+1 \)

De esa parte  no me hubiera dado cuenta.


Saludos