[Antmun]

Quería saber si el siguiente resultado es cierto y si es así, cómo demostrarlo, " Si una función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo, y tiene dos valores en el intervalo con derivada cero, entonces tiene un punto de inflexión en dicho intervalo".
Gracias

[robinlambada]

Hola

Quería saber si el siguiente resultado es cierto y si es así, cómo demostrarlo, " Si una función cumple las hipótesis del Teorema de Rolle en un intervalo, y tiene dos valores en el intervalo con derivada cero, entonces tiene un punto de inflexión en dicho intervalo".
Gracias

Está claro que evitando el caso trivial \( f(x)=cte \) que no se cumpliría.

Creo, a bote pronto, que quizás sería necesario imponer que la función sea de clase 2 , entonces parece razonable lo que planteas, hay que hacer notar que al ser por hipótesis la función derivable en el abierto, puedo definir la función derivada y volver a aplicar el teorema de Rolle pues \( f'(c_1)=f'(c_2)=0 \), entonces \( \exists{}c_3:f''(c_3)=0 \) , bastaría probar en alguno de estos 3 puntos \( c_1 \, , \, c_2 \,o\, c_3 \)  tiene un punto de inflexión.

[robinlambada]

Lo de clase 2 te lo comento por que esta función cumple tus hipótesis pero no tiene un punto de inflexión.

\( f(x)=\begin{cases} (x+1)^2 & \text{si}& -1\geq{}x\\0 & \text{si}& -1<x<1\\ (x-1)^2& \text{si}&x\geq{}1\end{cases} \)

[Antmun]

ES verdad lo que dices, ha de tener segunda derivada.
Saludos

[robinlambada]

(1) Puedes suponer que en \( c_1 \) y \( c_2 \) con \( c_1<c_2 \) (si no son puntos de inflexión) tienen un máximo y mínimo local, por  ser \( f''(x) \) continua y \( f''(c_1)\cdot{}f''(c_2)<0 \)(*) aplicando Bolzano , existe un \( c_3 \) donde \( f''(c_3)=0 \) cambiando ahí de concavidad.

(2) Si por el contrario en \( c_1 \) y \( c_2 \) tienen 2 máximos o 2 mínimos locales . puedes demostrar aplicando Bolzano de nuevo a la primera derivada que \( f'(c_1^+)\cdot{}f'(c_2^-)<0 \) , por ello existe otro punto \( c_4\in{}(c_1 , c_2) \) tal que \( f'(c_4)=0 \), si suponemos que no es punto de inflexión será máximo o mínimo) si  \( f''(c_1)\cdot{}f''(c_4)<0 \) aplico (1) y obtengo \( f''=0 \) cambiando la concavidad, si en \( c_1\text{ y en }c_4 \) volvemos a tener 2 máximos o 2 mínimos, vuelvo a aplicar el caso (2) llegara un momento o que tengo infinitos extremos relativos o tarde o temprano llegare a tener máximo y mínimo consecutivos, entonces aplico (1)

P.D.:No se si la idea te ha quedado clara.

Saludos.
AÑADIDO:
Realmente no he contemplado todos los casos, esto solo es correcto si en las máximos y mínimos la segunda derivada es no nula,para que (*) \( f''(c_1)\cdot{}f''(c_2)<0 \) sea cierto, si alguna de estas derivadas es cero, entonces \( f''(c_1)\cdot{}f''(c_2)=0 \), no se puede aplicar Bolzano y habria que estudiar el signo de las derivadas superiores.

[Antmun]

Gracias por tu respuesta, estoy intentando entenderla.
Saludos